matematikk.net

Jeg trenger litt hjelp med derivasjon! Hvordan løses oppgaven
f(x)= In kvadratroten av 3x / 4 - x

Sliter litt med derivasjon av kvadratrot...

Inga11 wrote:Jeg trenger litt hjelp med derivasjon! Hvordan løses oppgaven
f(x)= In kvadratroten av 3x / 4 - x

Sliter litt med derivasjon av kvadratrot...

Hvis jeg tolker deg rett: [tex]f(x) = \ln\sqrt{\frac{3x}{4-x}}[/tex]

Her har vi en sammensetning (komposisjon) av funksjoner. Da må vi benytte kjerneregelen. Den sier at du skal derivere den ytterste funksjonen med hensyn på det som er "inni" den, ganget med den deriverte av det inni. Den deriverte av den ytre funksjonen, [tex]\ln x[/tex], er [tex]\frac{1}{x}[/tex], så da får du:

[tex]f^\prime(x) = \frac{1}{\sqrt{\frac{3x}{4-x}}} \cdot \left(\sqrt{\frac{3x}{4-x}}\right)^\prime[/tex]

For å finne den deriverte av uttrykket til høyre må du benytte kjerneregelen igjen. Nå er den ytre funksjonen kvadratrotfunksjonen. Vi har at [tex](\sqrt{x})^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex]. Vi deriverer den ytre funksjonen med hensyn på det inni, og ganger med den deriverte av det inni:

[tex]\left(\sqrt{\frac{3x}{4-x}}\right)^\prime = \frac{1}{2\sqrt{\frac{3x}{4-x}}} \cdot \left(\frac{3x}{4-x}\right)^\prime[/tex]

Nå er resten snakk om å derivere [tex]\left(\frac{3x}{4-x}\right)[/tex]. Klarer du det? Når du har funnet den deriverte, kan du sette det tilbake i uttrykket for [tex]f^\prime(x)[/tex].

Som han over sier gjenstår det bare å derivere [tex]\: (\sqrt{\frac{3x}{4-x}})[/tex]

Et teknikk her er å sette [tex]\: \sqrt{3} \:[/tex] utenfor parentes og deriverer det som er inni parentes slik:

(*)Konstanten roten av 3 setter vi utenfor og til slutt inn igjen.
[tex]\sqrt{3} \cdot (\sqrt {\frac{x}{4-x}})^\prime[/tex]

Ytre derivering av [tex]\: (\sqrt {\frac{x}{4-x}})^\prime[/tex] gir:
[tex]\frac{1}{2 \sqrt{\frac{x}{4-x}}[/tex]

Indre derivering av [tex]\: (\sqrt {\frac{x}{4-x}})^\prime[/tex] gir ved bruk av kvotientregelen:
[tex]\frac{1}{4-x} +\frac{x}{(4-x)^2}[/tex]

Dermed er [tex]\: \sqrt{3} \cdot (\sqrt {\frac{x}{4-x}})^\prime=\frac{1}{2 \sqrt{\frac{x}{4-x}}} \cdot (\frac{1}{4-x} +\frac{x}{(4-x)^2})[/tex]

(*)Konstanten setter vi nå inn igjen og får :
[tex]\: \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{\frac{x}{4-x}}} \cdot (\frac{1}{4-x} +\frac{x}{(4-x)^2})[/tex]

Og til slutt setter inn i det vektormannen kom frem til:

[tex]f^\prime(x) = \frac{1}{\sqrt{\frac{3x}{4-x}}} \cdot \left(\sqrt{\frac{3x}{4-x}}\right)^\prime[/tex]

Da får vi etter å ha satt inn det vi kom over:
[tex]f^\prime(x) = \frac{1}{\sqrt{\frac{3x}{4-x}}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{\frac{x}{4-x}}} \cdot (\frac{1}{4-x} +\frac{x}{(4-x)^2})[/tex]

Tusen takk for hjelpen