Oppgaven er:
For hvilke verdier av p og q eksisterer
[tex]lim_ {x->0} [/tex] [tex]\frac{e^{(cosx)} + px + q}{xln(1+x)}[/tex]
Tenkte man kunne splitte opp uttrykket, og finne grenseverdiene til hvert av leddene. Men kommer ikke videre av den grunn.
L'Hôpitals og grenseverdier
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jeg tror ikke det er så lurt å splitte det opp. Hvilke betingelser må til for at L'hôpitalsregel skal gjelde? Jo, det må være ett 0/0 eller [symbol:uendelig]/ [symbol:uendelig] utrykk.
Siden nevner går mot null, må også teller gjøre det. Dermed tror jeg nok jeg ville startet med å løse likningen
[tex]e^{cos x} + px + q = 0[/tex]
Siden nevner går mot null, må også teller gjøre det. Dermed tror jeg nok jeg ville startet med å løse likningen
[tex]e^{cos x} + px + q = 0[/tex]
Fry: Hey, professor. Which course do you teach?
Professor Hubert Farnsworth: Mathematics in quantum neutrino fields. I chose the name myself to scare away any students.
Professor Hubert Farnsworth: Mathematics in quantum neutrino fields. I chose the name myself to scare away any students.
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
Sett [tex]p(x) = e^{\cos x} + px + q[/tex], [tex]q(x) = x \, \ln(1+x)[/tex] og [tex]f(x) = p(x)/q(x)[/tex]. Når [tex]x \rightarrow 0[/tex], vil nevneren [tex]q(x) \rightarrow q(0) = 0[/tex]. Skal grenseverdien [tex]\lim_{x \rightarrow 0} f(x)[/tex] eksistere, må [tex]p(x) \rightarrow p(0) = e + q = 0[/tex], dvs. [tex]q = -e[/tex].
Ved å anvende L'Hopitals regel, får vi at
[tex]\lim_{x \rightarrow 0} f(x) \: = \: \lim_{x \rightarrow 0} \: \frac{p^{\prime}(x)}{q^{\prime} (x)} \: = \: \lim_{x \rightarrow 0} \: \frac{-e^{\cos x} \, \sin x + p}{\frac{x}{1+x} \: + \: \ln(1+x)}[/tex].
Igjen har vi at nevneren [tex]q^{\prime}(x) \rightarrow q^{\prime}(0) = 0[/tex] når [tex]x \rightarrow 0[/tex]. Så en nødvendig betingelse for at grenseverdien [tex]\lim_{x \rightarrow 0} f(x)[/tex] skal eksistere, er at [tex]p^{\prime}(x) \rightarrow p^{\prime}(0) = p = 0[/tex] når [tex]x \rightarrow 0[/tex]. Altså må [tex]p = 0[/tex] og [tex]q = -e[/tex], som medfører at
[tex]\lim_{x \rightarrow 0} f(x) \: = \: \lim_{x \rightarrow 0} \: \frac{-e^{\cos x} \, \sin x}{\frac{x}{1+x} \: + \: \ln(1+x)} \: = \: \lim_{x \rightarrow 0} \: \frac{-e^{\cos x} \, \frac{\sin x}{x}}{\frac{1}{1+x} \: + \: \frac{\ln(1+x)}{x}} \:=\: -\frac{e}{2}[/tex]
fordi [tex]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1[/tex] og [tex]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1[/tex].
Ved å anvende L'Hopitals regel, får vi at
[tex]\lim_{x \rightarrow 0} f(x) \: = \: \lim_{x \rightarrow 0} \: \frac{p^{\prime}(x)}{q^{\prime} (x)} \: = \: \lim_{x \rightarrow 0} \: \frac{-e^{\cos x} \, \sin x + p}{\frac{x}{1+x} \: + \: \ln(1+x)}[/tex].
Igjen har vi at nevneren [tex]q^{\prime}(x) \rightarrow q^{\prime}(0) = 0[/tex] når [tex]x \rightarrow 0[/tex]. Så en nødvendig betingelse for at grenseverdien [tex]\lim_{x \rightarrow 0} f(x)[/tex] skal eksistere, er at [tex]p^{\prime}(x) \rightarrow p^{\prime}(0) = p = 0[/tex] når [tex]x \rightarrow 0[/tex]. Altså må [tex]p = 0[/tex] og [tex]q = -e[/tex], som medfører at
[tex]\lim_{x \rightarrow 0} f(x) \: = \: \lim_{x \rightarrow 0} \: \frac{-e^{\cos x} \, \sin x}{\frac{x}{1+x} \: + \: \ln(1+x)} \: = \: \lim_{x \rightarrow 0} \: \frac{-e^{\cos x} \, \frac{\sin x}{x}}{\frac{1}{1+x} \: + \: \frac{\ln(1+x)}{x}} \:=\: -\frac{e}{2}[/tex]
fordi [tex]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1[/tex] og [tex]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1[/tex].
Ser at man kan bruke l'Hôpital slik at det blir et "0/0"-uttrykk, men hvorfor er dette den eneste muligheten for grenseverdien å eksistere?Solar Plexsus wrote:Skal grenseverdien [tex]\lim_{x \rightarrow 0} f(x)[/tex] eksistere, må [tex]p(x) \rightarrow p(0) [/tex]