matematikk.net

Hei, støtte borti en spennende grense i dag. Den lyder som slik:
[1]: [tex]\lim_{x\to0}(e^x+x)^{1/x}[/tex]

Jeg har fått opgitt grensen til [tex]e^2[/tex]

Det merkelige er dette:
[2]: [tex]e[/tex] er definert slik [tex]\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e[/tex]

Hvis en setter inn [tex]\lim_{x\to0}e^x=1[/tex] i ligning [1]

altså står en igjen med ligning [2] som tilsier at grensen er [tex]e[/tex], ikke [tex]e^2[/tex].

Jeg vet jo at svaret er [tex]e^2[/tex] så hva er feil her?

Hva mener du med å sette inn [tex]\lim_{x \to 0} e^x = 1[/tex]? Det virker som du går ut i fra at du på en eller annen måte kan ta grensene av hvert ledd inni parentesen. Det går ikke.

Gjør om uttrykket til det følgende: [tex](1+xe^{-x})^{\frac{1}{x}}(e^{x})^{\frac{1}{x}}= ((1+xe^{-x})^{\frac{1}{xe^{-x}}})^{e^{-x}}(e^{x})^{\frac{1}{x}}[/tex]

og se hva du kan gjøre med det.

[tex] y = {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {{e^x} + x} \right)^{1/x}} [/tex]

[tex] \ln y = {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}\ln \left( {{e^x} + x} \right) [/tex]

[tex] \ln y = {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {{e^x} + x} \right)}}{x} [/tex]

L`hopital pga [tex]\frac{0}{0} [/tex]

[tex] \ln y = {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} + 1}}{{{e^x} + x}}[/tex]

[tex] \ln y = \frac{2}{1} [/tex]

[tex] y = {e^2} [/tex]

Ah, løsningen til Nebuchadnezzar fikk det til og ringe en bjelle, det var trikset jeg hadde glemt =)