matematikk.net

Skal bevise at [tex]\lim_{x \to a} x^2 = a^2[/tex]

Dette har jeg prøvd:
La [tex]\epsilon > 0[/tex]

Vi må finne en [tex]\delta >0[/tex], så:

[tex]0<|x-a|<\delta[/tex] medfører at [tex]|x^2-a^2|<\epsilon[/tex]

Vi vil altså at [tex]|x+a||x-a|<\epsilon[/tex]

Lar [tex]\delta \leq 1 \ \rm{og} \ |x-a|<\delta[/tex]

[tex]|x-a|<1 \ \Rightarrow \ a-1 \ < \ x \ < \ a+1 \ \Rightarrow \\ 2a-1 \ < \ x+a \ < \ 2a+1 \ \Rightarrow \ |x+a| \ < \ |2a+1|[/tex]

Derfor:
[tex]|x^2-a^2| \ < \ |2a+1||x-2|[/tex] når [tex]|x-2|<\delta\leq 1[/tex]

[tex]|a+3||x-2| \ < \ \epsilon[/tex] hvis [tex]|x-2| \ < \ \frac{\epsilon}{|a+3|}[/tex]

og her ga jeg opp. Jeg skjønner ikke en DRITT. Prøvde å benytte meg av bokens fremgangsmåte på en noenlunde lginende oppgave, men jeg har som dere ser rotet meg så ****** bort. Jeg har i alle fall prøvd. Jeg må klare dette VELDIG fort. Er det noen engler har som kan bedrive hastehjelp??

Bare et forslag, har du prøvd trekantulikheten?


Å skrive "HASTER!!!" hjelper forresten fint lite. De fleste blir nok mindre villige til å hjelpe til da.

espen180 wrote:Bare et forslag, har du prøvd trekantulikheten?

Jeg skrev i åpningsinnlegget hva jeg hadde prøvd.

espen180 wrote:Å skrive "HASTER!!!" hjelper forresten fint lite. De fleste blir nok mindre villige til å hjelpe til da.

Hvorfor det? Synes det er rimelig stygt gjort av deg å anta at alle som sitter her med kunnskap har Downs syndrom og er tilbakestående til 8,5 på Richter skala. Skulle tro de fleste skjønte at når jeg skriver at det haster, så betyr at det jeg faktisk trenger hjelp fort. Nå kan det bare være det samme. Nå er det for sent.

Folk som skriver at det haster har spurt etter hjelp for seint, eller begyndt for seint, og det tyder også på at personen ikke bryr seg om å lære noe, men bare vil ha svaret til en innleveringsoppgave. Derfor hjelper det ikke å si at det haster.

La [tex]a[/tex] være en positiv konstant og la

[tex]|x-a|<\delta <a[/tex]. Da er [tex]a<x+a<3a[/tex] så

[tex]|x^2-a^2|=|x-a||x+a|<\delta\cdot 3a[/tex]

Sett derfor [tex]\delta=\min(a,\frac{\epsilon}{3a})[/tex]

plutarco wrote:La [tex]a[/tex] være en positiv konstant og la

[tex]|x-a|<\delta <a[/tex]. Da er [tex]a<x+a<3a[/tex] så

[tex]|x^2-a^2|=|x-a||x+a|<\delta\cdot 3a[/tex]

Sett derfor [tex]\delta=\min(a,\frac{\epsilon}{3a})[/tex]

Mulig jeg er dum, men hvordan kan man bare la a være en positiv konstant?

Putekrig wrote:

plutarco wrote:La [tex]a[/tex] være en positiv konstant og la

[tex]|x-a|<\delta <a[/tex]. Da er [tex]a<x+a<3a[/tex] så

[tex]|x^2-a^2|=|x-a||x+a|<\delta\cdot 3a[/tex]

Sett derfor [tex]\delta=\min(a,\frac{\epsilon}{3a})[/tex]

Mulig jeg er dum, men hvordan kan man bare la a være en positiv konstant?

Grunnen til at jeg først lar a være positiv er at det ville vært feil å skrive

[tex]|x-a|<\delta <a[/tex] dersom a er negativ. Så man bør betrakte tilfellene a>0 og a<0 hver for seg...

plutarco wrote:La [tex]a[/tex] være en positiv konstant og la

[tex]|x-a|<\delta <a[/tex]. Da er [tex]a<x+a<3a[/tex] så

[tex]|x^2-a^2|=|x-a||x+a|<\delta\cdot 3a[/tex]

Sett derfor [tex]\delta=\min(a,\frac{\epsilon}{3a})[/tex]

Ville dette holdt som hele beviset, eller må man gjøre dette både for en positiv og en negativ a?

Rent formelt har du bare bevist det for positive [tex]a[/tex], men du kan vise det negative tilfellet på mer eller mindre samme måte. Setter du [tex]a=-b[/tex] der [tex]b[/tex] er positiv får du jo [tex]|x^2-a^2|=|x-b||x+b|[/tex], og [tex]|x+b|=|x-a|<\delta[/tex], og velger du [tex]\delta<b[/tex] får du [tex]|x-a|<\delta<b[/tex], så [tex]-b<x-a<b[/tex], og [tex]-3b<x-b<-b[/tex], så [tex]|x-b|<3b[/tex]. Da har du [tex]|x^2-a^2|=|x-b||x+b|<\delta \cdot 3b[/tex], så velg [tex]\delta< \min (b, \frac {\epsilon} {3b})[/tex]. Du står da bare igjen med tilfellet [tex]a=0[/tex], som du sikkert klarer selv.