matematikk.net

Vi har gitt følgende likning:
[tex]x=\cos{x} + \sin{x}[/tex]

Skal vise at denne likningen har en løsning mellom [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] og [tex]\frac{\pi}{4}[/tex]. Hvordan gjør jeg det?

Jeg har skjønt at jeg tok fullstendig feil approach da jeg prøvde å løse den. Klassekameratene mine begynte med diverse bevis (husker ikke hvilke de nevnte, men ingen hadde anledning til å vise meg i går.

Her er det jeg skriblet ned da jeg prøvde, og selv om det er fullstendig på bærtur, viser det i alle fall at jeg har prøvd.

[tex](\sin{x}+\cos{x})^2 = x^2[/tex]

[tex]\sin ^2x + \cos ^2x + 2\sin x \cos x = x^2[/tex]

[tex]1 + \sin (2x) = x^2[/tex]

[tex]|x^2-1| \; \leq \; 1 \ \Rightarrow \ |x|<\sqrt 2[/tex]

Noen som har lyst å vise?

Flytt over x og la funksjonen f være høyresida i ligningen. Da er [tex]f(x) = \sin x + \cos x - x[/tex]. Er du enig i at å vise at den opprinnelige ligningen har en løsning på det oppgitte intervallet, er det samme som å vise at denne funksjonen f har et nullpunkt på samme intervall?

Er f kontinuerlig? Hva får du hvis du regner ut [tex]f\left(\frac{\pi}{2}\right)[/tex] og [tex]f\left(\frac{\pi}{4}\right)[/tex]? Kan du bestemme om f må ha et nullpunkt eller ikke?