matematikk.net

Hei. Jeg står litt fast på følgende oppgave:

Finn volumet av området i første oktant mellom planene y = 0 og y = x, og inni ellipsoiden (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) + (z^2)/(c^2) = 1.

Her har jeg begynt gjennom å bruke variabelskfitet:

x = au
y = yb
z = cw

Da får jeg ligningen:

(u^2) + (v^2) + (w^2) = 1.

Videre gir Jacobiandeterminanten svaret: abc.

Videre har jeg så forsøkt å løse oppgaven gjennom å konvertere til polarkoordinater. I og med at området er avgrenset av planene y = 0 og y = x i første oktant tilsvarer dette at vinkelen Ɵ ligger mellom [symbol:pi] /4 og [symbol:pi] /2.

Setter så dette opp som et trippelintegral hvor jeg har:


abc* [symbol:integral] dƟ [symbol:integral] rdr [symbol:integral] dz

Hvor det første integralet altså går mellom [symbol:pi] /4 og [symbol:pi] /2. Det andre integralet går mellom 0 og 1, og det tredje integralet går mellom 0 og [symbol:rot] (1 - (r^2))

Løser dette i vei og ender opp med svaret:

(abc [symbol:pi]) /12

Dette er imiderltid ikke riktig i følge fasiten. Riktig svar skal være:

(abc/3)*arctan(a/b)

Hva gjør jeg feil her? Setter veldig stor pris på hjelp!!!

En liten korreksjon:

Variabelskifte for y skal selvsagt være bv og ikke yb.

Bruk ellipsoidekoordinater. Referanse: Oppgave 5 på vårens eksamen i Mat1110 ved UiO: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... 0_2010.pdf

plutarco wrote:Bruk ellipsoidekoordinater. Referanse: Oppgave 5 på vårens eksamen i Mat1110 ved UiO: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... 0_2010.pdf

Jeg får fremdeles samme svar gjennom bruk av ellipsoidekoorindater:

Vi vet at θ er mellom [symbol:pi] /2 og [symbol:pi] /4. Videre er φ mellom 0 og [symbol:pi] /2. Til slutt ser vi av formelen for sfæren at p = 1. Får da:

V = abc* [symbol:integral] dθ [symbol:integral] dφ [symbol:integral] (p^2)sin(φ)dp

Hvor første integral går mellom [symbol:pi] /2 og [symbol:pi] /4. Andre integral går mellom 0 og [symbol:pi] /2. Tredje integral går mellom 0 og 1. Løser i vei og får:

((abc* [symbol:pi] )/4)[symbol:integral] sin(φ)dφ [symbol:integral] (p^2)dp


((abc)* [symbol:pi] /4) [symbol:integral] sin(φ)dφ * (1/3).

((abc)* [symbol:pi] /12)*1

= ((abc)* [symbol:pi] /12).

Kanskje fasiten er feil. Jeg ser ikke uten videre hvorfor arctan skal komme inn i bildet egentlig..

plutarco wrote:Kanskje fasiten er feil. Jeg ser ikke uten videre hvorfor arctan skal komme inn i bildet egentlig..

Nei, dette sliter jeg også med å se. Dette indikerer jo at man må ha et integral med integranden 1/(1 + ((a/b)^2). Skjønner ikke hvordan man skal få dette.

Fasiten er nok ikke feil.
Det er jo slik at planet [tex]y=x[/tex] blir til [tex]v=\frac{a}{b}u[/tex] når man skifter koordinater, så det burde forklare hvorfor [tex]0\leq \theta\leq \arctan\left(\frac{a}{b}\right)[/tex]

fish wrote:Fasiten er nok ikke feil.
Det er jo slik at planet [tex]y=x[/tex] blir til [tex]v=\frac{a}{b}u[/tex] når man skifter koordinater, så det burde forklare hvorfor [tex]0\leq \theta\leq \arctan\left(\frac{a}{b}\right)[/tex]

Ah, det stemmer jo! Glemte å ta høyde for at y = x selvsagt blir påvirket av transformasjonen. Tusen takk, fish!