matematikk.net

f(x)=e^x-3

Her skal jeg altså tilnærme ln3 ved å tilnærme nullpunktet til f(x) v.h.a Newtons metode.

Allerede etter første derivasjon vil jeg jo få en konstant..

Noen som har peiling på hvordan jeg kan tilnærme meg problemet?

Espresso

Newtons tilnærmingsmåte er jo gitt som dette.

[tex]g(n)\,=\,n\,-\,\frac{f(n)}{f^{\tiny\prime}(n)}[/tex]

Nå bare "tipper" man et tall som man tror kan ligge nærme nullpunktet.
Tegner man funksjonen er det lett å se hva man kan prøve å tippe. Her tipper jeg at nullpunktet er når x=1

I vårt tilfelle blir [tex]g(n)\,=\,n\,-\,\frac{exp{n}-3}{exp{n}}[/tex]

[tex]g(1)\,=\,1\,-\,\frac{{exp}-3}{exp}\,\approx\,1.1036[/tex]

Nå putter vi bare inn 1.1036 inn i g(n) og får et svar. Dette svaret putter vi inn i g(n) igjen. Også fortsetter vi denne prossesen til vi har fått et tilfredstillende antall riktige desimaler.

Newtons metode er gitt ved
[tex]x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)}=x_n-\frac{e^x_n-3}{e^x_n}[/tex]

Bare velg en verdi for [tex]x_0[/tex] og regn ut [tex]x_1[/tex] osv.

Nebuchadnezzar wrote:Newtons tilnærmingsmåte er jo gitt som dette.

[tex]g(n)\,=\,n\,-\,\frac{f(n)}{f^{\tiny\prime}(n)}[/tex]

Nå bare "tipper" man et tall som man tror kan ligge nærme nullpunktet.
Tegner man funksjonen er det lett å se hva man kan prøve å tippe. Her tipper jeg at nullpunktet er når x=1

I vårt tilfelle blir [tex]g(n)\,=\,n\,-\,\frac{exp{n}-3}{exp{n}}[/tex]

[tex]g(1)\,=\,1\,-\,\frac{{exp}-3}{exp}\,\approx\,1.1036[/tex]

Nå putter vi bare inn 1.1036 inn i g(n) og får et svar. Dette svaret putter vi inn i g(n) igjen. Også fortsetter vi denne prossesen til vi har fått et tilfredstillende antall riktige desimaler.

Jo, men problemet er at uansett hvilken x-verdi man putter inn vil det etter en derivasjon bli en konstant i nevner, som derivert blir 0..

Espresso wrote:

Nebuchadnezzar wrote:Newtons tilnærmingsmåte er jo gitt som dette.

[tex]g(n)\,=\,n\,-\,\frac{f(n)}{f^{\tiny\prime}(n)}[/tex]

Nå bare "tipper" man et tall som man tror kan ligge nærme nullpunktet.
Tegner man funksjonen er det lett å se hva man kan prøve å tippe. Her tipper jeg at nullpunktet er når x=1

I vårt tilfelle blir [tex]g(n)\,=\,n\,-\,\frac{exp{n}-3}{exp{n}}[/tex]

[tex]g(1)\,=\,1\,-\,\frac{{exp}-3}{exp}\,\approx\,1.1036[/tex]

Nå putter vi bare inn 1.1036 inn i g(n) og får et svar. Dette svaret putter vi inn i g(n) igjen. Også fortsetter vi denne prossesen til vi har fått et tilfredstillende antall riktige desimaler.

Jo, men problemet er at uansett hvilken x-verdi man putter inn vil det etter en derivasjon bli en konstant i nevner, som derivert blir 0..

Eller, man skal ikke fortsette å derivere i det uendelige, men sette inn x-verdien for hver gang, da burde det jo gå greit.

Får ta en titt på hvordan Newton kom frem til dette, samt få L`Hopital ut av hodet:-)

Glimrende, takk for hjelpa.

Utrolig hvor fort den nådde nullpunktet. Utrolig hvordan Newton klarte å komme opp med denne metoden, nå gjenstår det å finne ut i hvilke tilfeller den kan slå feil, noe den visstnok kan. Uansett imponert!

Nyt dagen

Viktige å huske på er at den første tilnærmingen bør være nærme. Om man prøver seg på for eksempel 100, i denne oppgaven så tar det mange tilnærminger før man treffer =)