matematikk.net

Hei igjen.

Jeg får til en god del av trippelintegraloppgavene, men de er ikke alltid like lett. Lurer også på om fasiten ikke er helt god. Jeg kan nemlig ikke fatte hva jeg gjør galt på denne oppgaven. Jeg bruker variabelskifte til sfæriske koordinater:

Finn: [symbol:integral] [symbol:integral] [symbol:integral] z dV over området gitt ved:

(x^2) + (y^2) < z < [symbol:rot] (2 - (x^2) - (y^2))


OK. Her begynner jeg med å kvadrere z og uttrykket som er større enn z. Da får jeg ligningen:

(x^2) + (y^2) + (z^2) < 2

Altså er p = [symbol:rot] 2

Videre finner jeg vinkelen ϕ som følger:

Gjennom å sette inn z for (x^2) + (y^2) i kuleligningen får vi:

z + (z^2) = 2.

Løser dette som en vanlig annengradsligning og får at z = - 2 og z = 1.

Vi vet imidlertid at z må være et positivt tall ettersom (x^2) + (y^2) ikke kan være mindre enn 0. Med z = 1 får vi da:

z = pcos(ϕ)

cos(ϕ) = 1/ [symbol:rot] 2

ϕ = [symbol:pi] /4.

Til slutt ser vi at vinkelen Ɵ er definert i hele området mellom 0 og 2 [symbol:pi]


I det gitte trippelintegraluttrykket setter vi z = pcos(ϕ)
Får da integraluttrykket:

[symbol:integral] dƟ [symbol:integral] (sin(ϕ)cos(ϕ))dϕ [symbol:integral] (p^3)dp

Hvor første intergral altså er definert fra 0 til 2 [symbol:pi] , andre integral er definert fra 0 til [symbol:pi] /4, og tredje integral er definert fra 0 til [symbol:rot] 2.

Det første integralet ser vi med en gang blir 2 [symbol:pi] . Integrerer vi det tredje integralet får vi 1. Altså sitter vi igjen med:

2 [symbol:pi] [symbol:integral] (sin(ϕ)cos(ϕ))dϕ

Setter u = sin(ϕ)
du = cos(ϕ)

Og får altså 2 [symbol:pi] * [symbol:integral] u du

Hvor integralet er definert fra 0 til 1/ [symbol:rot] 2

Integrerer og får til slutt:

2 [symbol:pi] *(1/4) = [symbol:pi] /2


Fasit sier imidlertid at svaret er 7 [symbol:pi] /12. Men jeg skjønner ikke hva jeg kan ha gjort feil over. Setter som vanlig veldig stor pris på om noen kan hjelpe!

Ingen som vet?

Det du har regna allerede er korrekt, tror jeg. Men du får i tillegg følgende trippelintegral (tegn en figur og sjekk)

[tex]\int_0^{2\pi}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{\cos\phi}{\sin^2\phi}}\rho^3\cos\phi\sin\phi\;d\rho d\phi d\theta[/tex]

Verdien av dette integralet er [tex]\frac{\pi}{12}[/tex]

Øvre grensen i det innerste integralet [tex]\rho=\frac{\cos\phi}{\sin^2\phi}[/tex] representerer paraboloiden. I ditt integral har du regnet som om nedre begrensningsflate var en kjegle.

Tusen takk!

Det stemmer nok det du skriver ja, ettersom vi ved å addere mitt svar og ditt svar får fasitforslaget.

Er det imidlertid mulig å inkorporere både mitt og ditt løsningsforslag i et enkelt trippelintegraluttrykk, eller må vi løser to ulike trippelintegraler for å få svaret?

Hvis man bruker sfæriske koordinater, må man nok dele opp i to integraler, men sylinderkoordinater gir bare ett integral.

fish wrote:Hvis man bruker sfæriske koordinater, må man nok dele opp i to integraler, men sylinderkoordinater gir bare ett integral.

Takk igjen! Jeg prøvde akkurat å løse oppgaven ved sylinderkoordinater, og da fikk jeg fasitsvaret!

Finnes det noen gode tips som man kan bruke for å se om det er mest logisk å bruke sylinderkoordinater eller sfæriske koordinater? Jeg vet jo at i teorien skal begge gi samme svar, men hvordan kan man se hva som er enklest å bruke? Denne oppgaven var egentlig mye lettere å løse gjennom sylinderkoordinater, men i og med at oppgaven lå midt i blant oppgaver hvor man bruker sfæriske koordinater tenkte jeg ikke over at jeg kunne løse oppgaven med sylinderkoordinater.

Min erfaring er at andre flatetyper enn kuleflater og evt kjegler ofte gir mer komplisert regning i kulekoordinater enn sylinderkoordinater. Men det er nok vanskelig å si noe helt generelt om dette.

fish wrote:Min erfaring er at andre flatetyper enn kuleflater og evt kjegler ofte gir mer komplisert regning i kulekoordinater enn sylinderkoordinater. Men det er nok vanskelig å si noe helt generelt om dette.

OK. Jeg får bare regne mange oppgaver da, slik at jeg får en intuitiv følelse for hvilken metode som funker best på ulike problemer