matematikk.net

Hallo

Jeg prøver å gjennomgp R-L-krets i fysikk og har kommet til et mattematisk problem. Man skal integrere:

[tex]\int\frac{1}{i-\frac{\eps}{R}}di [/tex]

som er den ene siden av en differensialligning.

Lenge nok siden jeg har brukt regneregler og er rusten. men kjernen til nevneren er utenkelig 1. Integralet starter fra 0 bare som informasjon

Hele ligningen

[tex]\int\frac{1}{i-\frac{\eps}{R}}di=\int-\frac{R}{L}t [/tex]

Hvis man forutsetter [tex]i>\frac{\epsilon}{R}[/tex], får man
[tex]\int \frac{1}{i-\frac{\epsilon}{R}}\;di=\ln\left(i-\frac{\epsilon}{R}\right)+C[/tex]

Svaret skulle bli

[tex]\int\frac{1}{i-\frac{\eps}{R}}di=\int-\frac{R}{L}dt [/tex]


[tex]ln(\frac{i-\frac{\eps}{R}}{-\frac{\eps}{R}})=-\frac{R}{L}dt [/tex]

så den antagelsen kan man ikke gjøre. i starter forøvrig på 0

Da må du forutsette [tex]i<\frac{\epsilon}{R}[/tex] for å unngå null i nevneren. Hvis integralet på høyresiden er mhp t, er noe åpenbart galt.

ja skal stå dt. Sorry. er vel en separabel difflignig. Lenge siden jeg har sett det her som sagt men etter litt sjekking fant jeg ut at det skulle stemme. Men poenget er å finne et uttrykk for i så å fjerne i er ingen god ide uansett

Altså poenget er å finne i i en krets med en motstand og en solenoide som gir ems ved strømforandring som funksjon av t fra et uttrykk som involverer di/dt fra ems skapt fra solenoiden ved strømforandring. Var bare derfor jeg skrev at i burde være viktig. Men det jeg lurte på var et mattematisk problem. Dette er jo tross alt et matteforum og prøver å hold emeg i riktig kontekst:)

Kan du ikke skrive oppgaven helt ordrett fra boka/e.l. så det blir enklere å hjelpe?
Du oppgir tydeligvis ikke all informasjon om problemet, noe som gjør det problematisk å hjelpe deg med å finne løsningen.

Det er det som står i boken angående integrering som jeg har skrevet så jeg oppgir det man skulle trenge for å utføre en integrasjon tror jeg. Utgangspunktet er at det er bare å snu om på ligningen:

[tex] \eps-IR-L\frac{di}{dt} [/tex]

Så kommer man til uttrykket som skal integreres

[tex]\int\frac{1}{i-\frac{\eps}{R}}di=\int-\frac{R}{L}dt [/tex]

Regner med det skal stå
[tex] \eps-IR-L\frac{di}{dt} = 0 [/tex]

Likningen ser ut til å være Kirchoffs spenningslov med epsilon som spenningskilde, i serie med en motstand og en spole.

( Elementloven for en spole er [tex] v(t) = L \cdot \frac{di}{dt} [/tex] )

For å løse denne kan man dividere med L, flytte litt og få likningen:
[tex] \frac{di}{dt} + I \cdot \frac{R}{L} = \frac{\eps}{L} [/tex]
Gjør så substitusjonen [tex] \tau = \frac{L}{R} [/tex]
og [tex] K = \frac{\eps}{L} [/tex]

Alle variablene i substitusjonene er konstanter så det trengs ikke noe mer magi, får likningen:
[tex] \frac{di}{dt} + \frac{i}{\tau} = K [/tex]

For å løse denne kan man flytte og bytte litt og gjøre litt Leibniz magi slik at man får:
[tex] \frac{1}{i - \tau K} di = - \frac{1}{\tau} dt [/tex]

Vi kan integrere denne fra t0 til t (i er en funksjon av tiden) og får:
[tex] [ln (i - \tau K)]_{i(t_0)}^{i(t)} = -\frac{1}{\tau} [t]_{t_0}^{t}[/tex]

Her kan du bare sette inn og løse ut så ser du hva du får

edit: aner ikke hva de spørsmålstegnene gjør der, de skal ikke være der
En artig ting du forøvrig kan gjøre er å sette opp liknende situasjon med en kondensator, bare med en strømkilde for å finne et uttrykk for spenningen over en kondensator. Du får nemlig nøyaktig samme diff. likning, bare med tau som R*C og K som I/C

Takk. Har sett på R-C krets med ems nå. Leser litt fram og tilbake her. Stilig når man skjønnner prinsippet og mattematikken:)Fungerte fint å integrere. Problemet mitt var bare ln-reglene.

Men nå ser jeg på å lade ut en R-C -kondensator. Skjønner prinsippet men man bruker den samme ligningen for kirchoffs sløyfe:

[tex] \eps - \frac{q}{C} - iR [/tex]

men strømmen ut fra kondensatoren skkifter jo vei siden den har tatt i mot så mye positiv ladning vil den positive ladningen gå den andre veien når kretsen lukkes allikevel blir det ligningen ovenfor man tar utgangspunkt i når ems er 0. Burde ikke [tex] \frac{q}{C} [/tex] vært positiv?