matematikk.net

Hei.

Jeg får ikke følgende oppgave til å stemme med fasit, og er litt usikker på hva jeg gjør feil:

Gitt vektorfeltet: v(x,y,z) = yi - xj + k

Finn streamlines i vektorfeltet.

OK. Jeg bruker vanlig formel og får:

dx/y = -dy/x = dz

Her skal vi få to streamlines. Den første finner jeg greit nok. Vi har:

dx/y = -dy/x

Som gir:

xdx = -ydy
Integrerer begge sider og får:

(x^2)/2 = -(y^2)/2 + (C/2)

Multipliserer med 2, og får ligningen for sirkel:

(x^2) + (y^2) = C

(Fasiten har her skrevet (x^2) + (y^2) = (a^2))

Når det gjelder den andre streamline-løsningen har jeg satt opp:

-ydy = dz

Integrerer og får:

-(y^2)/2 = z + D

Som gir z = (-y^2)/2 + D

I følge fasiten skal imidlertid andre løsning være:

x = a*sin(z - b).

Jeg skjønner ikke hvordan man finner dette. Setter stor pris på hjelp!

-ydy er vell ikke lik dz, -dy/x=dz, nå har du ganget og delt på noe på en side av likhetstegnet. Regner med du må finne x uttrykt ved y, og sette det inn i ligningen.

La [tex]\vec{x}_s=\langle x_s,y_s,z_s\rangle[/tex] være strømlinjen parametrisert ved [tex]s[/tex].

Tar det fra uttrykket

[tex]x_s^2 + y_s^2 = C[/tex].

Her ser vi at [tex]C[/tex] må være et positivt tall, så da er det vanlig å la tallet være et kvadrat siden alle kvadrater av reelle tall er positive, så man lar [tex]C=a^2[/tex].
Bruker vi at [tex]y_sdz_s=dx_s[/tex] og setter inn fra uttrykket over får vi

[tex]\sqrt{a^2-x_s^2}dz_s=dx_s[/tex].

Bruk så den generelle formelen [tex] \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx=\arcsin(\frac{x}{|a|})+C[/tex], og man er i mål.

Tusen takk til dere begge!

Jeg ser at jeg gjorde en feil i mitt forslag, ja. Og tenkte ikke over at jeg kunne bruke svaret for den første strømlinjen til å finne ett uttrykk for den andre.

Jeg setter veldig stor pris på hjelpen!!!