matematikk.net

Hei.

Jeg har bare et lite spørsmål angående fremgangsmåte i oppgaver knyttet til det å finne strømlinjer i et vektorfelt.

I en oppgave i boken min har man oppgaven:

Gitt

xi + (y^2)j + zk

Finn strømlinjene til vektorfeltet.


OK. For å finne strømlinjene setter man så opp:

dx/x = dy/(y^2) = dz/z

En av løsningene finner vi ved å sette opp:

dx/x = dy/(y^2)

For så å integrere begge sider:

ln(x) = -(1/y) + C

Løser for y og får da at en strømlinje er gitt ved:

y = 1/((ln(x)) + C)

Den andre løsninger finner vi så, i følge fasiten, ved å sette:

dx/x = dz/z

Ved integrasjon får vi:

ln(x) = ln(z) + ln(c)

Løser i vei og får til svar:

x = Cz

Jeg er helt med på fremgangsmåten her. Mitt spørsmål er imidlertid om vi også kan finne et uttrykk for den andre strømlinjen gjennom f.eks. å sette:

dy/(y^2) = dz/z

Som gir, dersom vi følger samme fremgangsmåte som for første strømlinje:

y = 1/((ln(z)) + C)


Altså - hvordan kan vi se/vite at vi skal velge x, og ikke y, som den variabelen som går igjen i begge strømlinjene? Jeg ser av oppgavene som er gitt i den aktuelle seksjonen i tekstboken min at det ikke virker som at det er noe fast mønster for dette. Av og til løses oppgavene slik at x går igjen i begge strømlinjene, av og til går y igjen i begge strømlinjene, og av og til går z igjen i begge strømlinjene. Jeg ser at løsningsforslagene i fasiten ofte velger variabel slik at uttrykkene blir "penere" til slutt enn om man velger en annen variabel, men vil det være feil å gjøre som slik jeg f.eks. foreslår i eksemplet over (altså at jeg løser med hensyn på y begge gangene, og ikke med hensyn på x?)

Setter veldig stor pris på om noen kan forklare dette for meg.

En liten korreksjon:

Strømlinjeneforslagene mine skal selvsagt være:

y = -1/(((ln(x)) + C)

og
y = -1/(((ln(z)) + C)


Altså er uttrykket på høyre side av likhetstegnet negativt, og ikke positivt.

Jeg ser også nå at fasiten, i tillegg til forslaget x = Cz, har som andre løsning:

ln(x) = ln(C) - (1/y)

Altså omtrent det samme som meg, men man setter ln(C) i stedet for bare C.

Synes som sagt dette er forvirrende ettersom jeg ikke forstår hvordan man velger hvilken variabel man løser med hensyn på (her har jo fasiten valgt x, mens jeg har valgt y, og jeg er usikker på om begge løsninger er gyldige).

En strømlinje er bare en posisjonsvektor [tex]\vec{r}(s)=(x(s),y(s),z(s))[/tex] som er parametrisert slik at når vi varierer parameteren s får vi en vei i rommet.

Løsningene du har funnet angir bare sammenhenger mellom komponentene, så det er egentlig vilkårlig hvordan man løser ligningene. Du vil ende opp med de samme strømlinjene uansett.

I det konkrete tilfellet er x=Cz og ln(x) = ln(C) - (1/y) så
y=1/(ln(C)-ln(x))



Så strømlinjene er

[tex]\vec{r}(s)=(x(s),y(s),z(s))=(x(s),\frac{1}{ln(C)-ln(x(s))},\frac{x(s)}{C})[/tex]

La f.eks. [tex]x(s)=s [/tex]. Da kan man skissere strømlinjene for ulike verdier av C.

Tusen takk! Nå har jeg god kontroll på dette.

Skrev også litt feil da jeg beskrev de to ulike flatene som strømlinjer. Det er jo skjæringspunktene mellom de to flatene som jo utgjør strømlinjen.

Pensumboken min er ikke særlig god på vektor kalkulus!