Volum gjennom dobbeltintegral
Posted: 25/10-2010 12:34
Hei.
Trenger litt hjelp med følgende oppgave:
Finn volumet av området over xy-planet og mellom:
z = 2a - [symbol:rot] ((x^2)+(y^2))
og:
(x^2) + (y^2) = 2ay
OK. Her ser vi altså at z = 2a - r.
Videre ser vi at :
(r^2) = 2ar*sin(θ)
Deler på r og får:
r = 2a*sin(θ)
Kan så sette opp dobbeltintegral:
[symbol:integral] dθ [symbol:integral] r*(2a - r)dr
Hvor det første integralet går mellom 0 og 2 [symbol:pi] , og det andre integralet går mellom 0 og 2a*sin(θ).
Vi løser i vei og får:
[symbol:integral] dθ [symbol:integral] (2ar - (r^2))dr
Integrerer dr-integralet, og får:
a(r^2) - ((r^3)/3)
Setter inn 2a*sin(θ) for r og får altså igjen:
[symbol:integral] (4(a^3)(sin(θ)^2)) - ((8(a^3)(sin(θ)^3))/3) dθ
Vi gjør dette om til to integral:
4(a^3) [symbol:integral] (sin(θ)^2)dθ - ((8(a^3))/3) [symbol:integral] (sin(θ)^3)dθ
(hvor altså begge integralene går fra 0 til 2 [symbol:pi] .
Det første integralet får jeg til å bli:
4(a^3)* [symbol:pi]
Mens det andre får jeg til å bli 0.
Mitt svar blir derfor 4(a^3)* [symbol:pi] .
Dette stemmer imidlertid ikke med fasit. Husker ikke i farten hva fasitsvaret er, men det er i hvert fall ikke det samme som jeg får.
Setter derfor veldig stor pris på om noen kan fortelle meg hva jeg gjør galt her.
Trenger litt hjelp med følgende oppgave:
Finn volumet av området over xy-planet og mellom:
z = 2a - [symbol:rot] ((x^2)+(y^2))
og:
(x^2) + (y^2) = 2ay
OK. Her ser vi altså at z = 2a - r.
Videre ser vi at :
(r^2) = 2ar*sin(θ)
Deler på r og får:
r = 2a*sin(θ)
Kan så sette opp dobbeltintegral:
[symbol:integral] dθ [symbol:integral] r*(2a - r)dr
Hvor det første integralet går mellom 0 og 2 [symbol:pi] , og det andre integralet går mellom 0 og 2a*sin(θ).
Vi løser i vei og får:
[symbol:integral] dθ [symbol:integral] (2ar - (r^2))dr
Integrerer dr-integralet, og får:
a(r^2) - ((r^3)/3)
Setter inn 2a*sin(θ) for r og får altså igjen:
[symbol:integral] (4(a^3)(sin(θ)^2)) - ((8(a^3)(sin(θ)^3))/3) dθ
Vi gjør dette om til to integral:
4(a^3) [symbol:integral] (sin(θ)^2)dθ - ((8(a^3))/3) [symbol:integral] (sin(θ)^3)dθ
(hvor altså begge integralene går fra 0 til 2 [symbol:pi] .
Det første integralet får jeg til å bli:
4(a^3)* [symbol:pi]
Mens det andre får jeg til å bli 0.
Mitt svar blir derfor 4(a^3)* [symbol:pi] .
Dette stemmer imidlertid ikke med fasit. Husker ikke i farten hva fasitsvaret er, men det er i hvert fall ikke det samme som jeg får.
Setter derfor veldig stor pris på om noen kan fortelle meg hva jeg gjør galt her.
