matematikk.net

Hei. Jeg står litt fast på følgende oppgave, hvor jeg skal finne arealet av en overflate, S.

Find [symbol:integral] [symbol:integral] y dS hvor S er den delen av kjeglen z = [symbol:rot] (2*((x^2)+(y^2))) (altså er alt dette under rottegnet) som ligger under planet z = 1 + y.

OK, her har jeg allerede funnet at dS = [symbol:rot] 3 dxdxy. Orker ikke vise mellomregning her, men jeg vet at det stemmer. Altså har vi nå:

[symbol:rot] 3 [symbol:integral] [symbol:integral] y dxdy

Jeg sliter imidlertid litt med å finne ut hvilke verdier de to bestemte integralene skal ligge mellom. Jeg har fosøkt å løse problemet i polarkoordinater ved å sette inn for z i kjelgeuttrykket:

1 + y = [symbol:rot] (2*((x^2)+(y^2)))

For så å få i polarkoordinater:

1 + r*sin(θ) = ( [symbol:rot] 2)*r

Løser for r og får:

r = 1/(( [symbol:rot] 2) - sin(θ))

Setter så opp dobbeltintegralet, hvor y i det opprinnelige uttrykket blir erstattet med r*sin(θ):

4*( [symbol:rot] 3) [symbol:integral] sin(θ) dθ [symbol:integral] (r^2)dr

Hvor det første integralet går mellom 0 og [symbol:pi] /2, mens det andre integralet går mellom 0 og 1/(( [symbol:rot] 2) - sin(θ)).

Jeg er imidlertid usikker på om dette er riktig. Dersom jeg løser det første integralet ender jeg så opp med:

(4*( [symbol:rot] 3)/3) [symbol:integral] (sin(θ))/((( [symbol:rot] 2) - sin(θ))^3) dθ

Og jeg aner ikke hvordan jeg skal løse dette integralet!

Dersom jeg har gjort noen feil underveis, eller dersom noen kan hjelpe til med dette integralet setter jeg veldig, veldig stor pris på det.

Svaret på oppgaven skal forøvrig være ( [symbol:rot] 6)* [symbol:pi]

Ingen som vet? Jeg får ikke problemet ut av hodet, og trenger sårt hjelp for å gå videre i livet

4*( √ 3) ∫ sin(θ) dθ ∫ (r^2)dr

Her kan du ikke gange med fire siden du ikke har symmetri. Det betyr at integrasjonen må gå fra 0 til [tex]2\pi[/tex]. Forøvrig blir integralet slik du har satt det opp, og jeg fikk ved hjelp av datakraft ut

[tex]\sqrt{3}\int_0^{2\pi}(\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}-\sin\theta}}r^2\;dr)\sin\theta\;d\theta=\sqrt{6}\pi[/tex]

Jeg ser imidlertid ingen kjapp måte å få svaret på ved manuell regning. Integraler som involverer trigonometriske funksjoner kan ofte håndteres (omdannes til rasjonale funksjoner) ved hjelp av substitusjonen
[tex]u=\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex]

Tusen takk skal du ha! Ja, du har helt rett i at dette ikke er symmetrisk, og jeg skulle ikke ha multiplisert overflaten i første oktant med 4 - dette ser jeg selvsagt nå. Likevel er det i hvert fall godt å se at jeg har tenkt riktig mht integralet!

Nå kan jeg endelig slappe litt av

Jeg har sett litt på denne oppgaven.
Det dreier seg om en omvendt kjegle med akse i z-aksen og toppunkt i origo [tex]z = \sqrt{2(x^2 + y^2}[/tex] som snittes av et plan [tex]z = 1+y[/tex]
Det er åpenbart at det eksisterer en lineær sammenheng mellom areal på kjegleoverflaten og projeksjonen i xy-planet og som det er påpekt er proporsjonalitetskonstanten [symbol:rot] 3.
Vi skal finne arealet av overflaten på den delen av kjeglen som ligger mellom det gitte planet og xy-planet.
Projeksjonen av snittet på xy-planet er gitt av:

[tex] 1+y = \sqrt{2(x^2 + y^2}\\ y^2 -2y +2x^2 - 1 = 0[/tex]

Siden vi snitter en kjegle må vi forvente at resultatet er et kjeglesnitt. I dette tilfelle en ellipse symmetrisk om y-aksen.
Vi løser ligningen:
[tex]y^2-2y-1 = 0 \Rightarrow y = 1\pm \sqrt 2[/tex]
Den lengste aksen er altså: 2 [symbol:rot] 2.
Den andre aksen går gjennom y = 1. Når vi setter inn i ellipseligningen finner vi: [tex]x= \pm 1[/tex] Denne aksen er altså 2.

Nå finner vi enkelt det søkte arealet ved å benytte den kjente formelen for arealet av en ellipse.
[tex] A = \sqrt 3 \pi \sqrt 2 = \pi \sqrt 6[/tex]

Det finnes nok ingen helt enkel måte å beregne dette på fra grunnen. Det enkleste er nok å starte med å finne arealet av en ellipse med gitte akser. Noen metoder finnes her http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html
Det er mulig jeg kommer tilbake til noen av disse integrasjonsmetodene.

Tusen takk skal du ha, Claudius!