matematikk.net

Oppgave: Find the flux of F = xi + zj out of the tetrahedron bounded by the coordinate planes and the plane x + 2y + 3z = 6.

OK, denne oppgaven får jeg nesten til, men ikke helt. Setter stor pris på innspill:

Definerer funksjonen: g(x, y, z) = x + 2y + 3z - 6 = 0.

Vi finner dS:

dS = (i + 2j + 3k)/3 dxdy

Finner så F dot dS som blir:

(x/3) + (2z/3)

Ettersom vi skal integrere med hensyn til x og y, setter vi inn at z = 2 - (x/3) - (2y/3) og får:

(x/9) - (4y/9) + (4/3)

Setter opp dette som et dobbeltintegral hvor integralet for x går mellom 0 og 6, og integralet for y går mellom 0 og 3. Altså har vi:

[symbol:integral] dx [symbol:integral] ((x/9) - (4y/9) + (4/3)) dy

Vi får:

[symbol:integral] ((x/3) + 2) dx

Som går til svar: 6 + 12 = 18.

Riktig svar skal imidlertid være 6. Setter veldig stor pris på om noen kan se hvor jeg kan ha gjort feil (har ikke vist alle integral-utregningene for å spare litt plass, men håper likevel noen kan "spotte" hvor jeg gjør feil).

titt på denne linken

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... php?t=6341

Takk for svar.

Men er det altså ikke mulig å løse den med slik fremgangsmåte jeg har valgt?

Siden svaret skal bli 6 og ikke null er nok ikke det genererende feltet divergensfritt. Vi har:
[tex] \nabla \cdot F = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} = 1[/tex]
Når vi vet dette er det enkelt å finne volumet av tetraederet (som bør være 6) og finne fluksen ved Gauss sats.
Du har sannsynligvis regnet riktig, nen du må huske at et tetraeder har 4 sideflater. For å finne nettofluksen må du ta med alle fire!
Husk at alle flatevektorene må peke ut av volumet.

claudius wrote:Siden svaret skal bli 6 og ikke null er nok ikke det genererende feltet divergensfritt. Vi har:
[tex] \nabla \cdot F = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} = 1[/tex]
Når vi vet dette er det enkelt å finne volumet av tetraederet (som bør være 6) og finne fluksen ved Gauss sats.
Du har sannsynligvis regnet riktig, nen du må huske at et tetraeder har 4 sideflater. For å finne nettofluksen må du ta med alle fire!
Husk at alle flatevektorene må peke ut av volumet.

Takk skal du ha! Gauss, Green og Stokes teoremer er i neste kapittel av boken - altså er jeg ikke kjent med disse enda. Men har forstått det slik at en del av disse oppgavene kan gjøres enklere når jeg kan disse.

OK, nå har jeg prøvd å følge tipsene på den siden det refereres til.

Jeg har ikke noe problem med å identifisere normalvektorene til de ulike sidene av figuren. Jeg har heller ikke noe problem med å finne skalarproduktet mellom vektorfeltet og normalene. For n = -k blir skalarproduktet 0, så dette integralet blir 0 automatisk.

For de tre andre integralene får jeg:

[symbol:integral] [symbol:integral] -z dS

[symbol:integral] [symbol:integral] x dS

og:

[symbol:integral] [symbol:integral] (1/ [symbol:rot] 14)*(x + 2z) dS

For alle integralene akter jeg å løse for dxdy, hvor x-integralet går mellom 0 og 6, og y-integralet går mellom 0 og 3.

Jeg er imidlertid litt usikker på hvordan jeg skal finne dS verdien. Skal jeg bare ta arealet av de ulike sidene, eller skal jeg ta utgangspunkt i det gitte planet x + 2y + 3z = 6 og finne dS basert på dette (i så fall blir dS = ( [symbol:rot] 14)/3. Jeg prøvde dette, men fikk da til svar at flux er:

(18 - ( [symbol:rot] 14)*18)

Som jo ikke stemmer (svaret skal være 6).

Litt mer hjelp nå så vil jeg nok komme i mål .

Jeg har funnet ut at for hver dS kan jeg ta arealet av den siden av figuren som jeg finner flux til.

Som nevnt får jeg for n = - k at integralet blir 0.

For n = - j blir integralet også 0.

For n = - i får jeg til svar: - 162.

Og i det siste integralet, hvor jeg tar skråplanet, får jeg 162.

Samlet får jeg derfor 0 totalt. Argh! Noen som kan bekrefte/avkrefte om noen av disse integralverdiene er feil?

Jeg er ikke sikker på hvordan du har fått disse resultatene, men du har åpenbart gjort en fundamental feil.

Du må bestemme de ulike trekantene som danner tetraederet. Jeg tror f.eks at i yz-planet får trekanten hjørner i y = 3 og z = 2 og (selvsagt i origo).
normalen ut av denne siden er -i og Flateelementet blir følgelig:
[tex]d\vec S = -\vec i dydz \;\mathrm{ og}\; \vec F \cdot d\vec S = -zdydz[/tex]
For å finne fluksen ut gjennom denne siden må du integrere over den nevnte trekanten. Noe i retning av:
[tex]-\int_0^3 \, \mathrm{d}y\int_{2-\frac{2y}{3}}^2 z \, \mathrm{d}z[/tex]
Prinsippet er det samme på de andre sidene. Det er alle muligheter for feil her men det finner du vel ut av?

claudius wrote:Jeg er ikke sikker på hvordan du har fått disse resultatene, men du har åpenbart gjort en fundamental feil.

Du må bestemme de ulike trekantene som danner tetraederet. Jeg tror f.eks at i yz-planet får trekanten hjørner i y = 3 og z = 2 og (selvsagt i origo).
normalen ut av denne siden er -i og Flateelementet blir følgelig:
[tex]d\vec S = -\vec i dydz \;\mathrm{ og}\; \vec F \cdot d\vec S = -zdydz[/tex]
For å finne fluksen ut gjennom denne siden må du integrere over den nevnte trekanten. Noe i retning av:
[tex]-\int_0^3 \, \mathrm{d}y\int_{2-\frac{2y}{3}}^2 z \, \mathrm{d}z[/tex]
Prinsippet er det samme på de andre sidene. Det er alle muligheter for feil her men det finner du vel ut av?

Takk for svar.

Jeg har sett at det muligens kan være en veldig enkel måte å løse dette problemet på, men jeg er usikker på om fremgangsmåten er gyldig. Jeg brukte samme fremgangsmåte på en lignende oppgave, og fikk da også riktig svar.

I forbindelse med området i xy-planet, så vil som nevnt skalarproduktet av F og n her bli 0, så her blir fluxen 0.

I området som ligger i yz-planet, har vi at n = -i. Vi får da at:

F dot n = - x.

Altså får vi:

- [symbol:integral] [symbol:integral] x dS

I det aktuelle området er imidlertid x lik 0. Altså blir fluxen 0 i dette området også.

I området som ligger i xz planet har vi at n= -j. Vi får da at:

F dot n = -z.

Altså får vi:

- [symbol:integral] [symbol:integral] z dS

I det aktuelle området er z definert mellom 0 og 2. Arealet av området er: (6*2)/2 = 6. Altså blir fluxen lik (-2)*6 = -12.

Og fra utregningen jeg startet tråden med ser vi at fluxen i skråplanet er lik 18.

Samlet flux blir dermed 18 - 12 = 6.

Som jo stemmer med fasit.

Dersom noen kan bekrefte/avkrefte om dette er en riktig måte å løse dette på vil jeg være svært takknemlig. Jeg får nå til omtrent samtlige flux-oppgaver i boken, men akkurat denne ene oppgaven her har jeg altså slitt litt med.

Jeg er ikkke sikker på hvordan du får fram resultatene dine men de er ikke de samme som mine! Beklager forøvrig at det var noe rot på slutten i det siste svaret mitt, men jeg får skylde på tidspunktet. (Jeg er forhåpentligvis mer våken nå!) Du har rett når du finner at det kun passerer flux gjennom sidene i skråplanet og i xz-planet.

I xz-planet:

[tex]d\vec S = -dxdz\vec j , \; \vec F \cdot d\vec S = -zdxdz [/tex]

Fluxen: [tex]\Phi_1 = -\int_0^2 z \, \mathrm{d}z \int_0^{6-3z} \mathrm{d}x = -4[/tex]

II Skråplanet:

[tex]d\vec S = \frac{1}{3}(\vec i + 2\vec j + 3\vec k)dxdy , \; \vec F = x \vec i + (2-\frac{2y}{3} - \frac{x}{3}) \vec j , \; \vec F \cdot d\vec S = \frac{1}{3}( 4-\frac{4y}{3} +\frac{x}{3}) [/tex]

Fluxen: [tex] \Phi_2 = \frac{1}{3}\int_0^6 \mathrm{d}x \int_0^{3-\frac{x}{2}} ( 4-\frac{4y}{3} +\frac{x}{3}) \, \mathrm{d}y = 10 [/tex]
III Totalt:

[tex] \Phi = \Phi_1 + \Phi_2 = 6[/tex]

Tusen takk, Claudius.

Nå som jeg ser utregningen din ser jeg klart logikken i hvordan problemet bør løses. Som nevnt tidligere får jeg til de fleste flux-problemene i læreboken, men av en eller annen grunn slet jeg med akkurat denne oppgaven. Det er sannsynligvis bare tilfeldig at jeg endte opp med samme svar som deg.

Setter stor pris på dette!