matematikk.net

Prøver å hjelpe en venn med et ligning.

Hvis man har

[tex]\sum_{i=0}^N\sin(a_i)=0[/tex],

der [tex]a[/tex] er et sett med vinkler. Kan man si at for at dette skal stemme, så må settet inneholde alle positive og negative verdier av vinklene i settet?

Type,

hvis settet a er gitt av [tex]a_1 = 7\pi/16, a_2 = 9\pi/16[/tex], så må også [tex]-7\pi/16[/tex] og [tex]-9\pi/16[/tex] også være en del av settet?

Etter litt kjapp triksing kommer jeg fram til

[tex]\sum_i \sin(a_i/2)cos(a_i/2) = \sum_i \sin(-a_i/2)\cos(a_i/2)[/tex],

men vil det være det samme som det over?

Vel, et moteksempel er jo

[tex]\sin(\frac{\pi}{4})+\sin(\frac{\pi}{4}+\pi)=0[/tex]

plutarco wrote:Vel, et moteksempel er jo

[tex]\sin(\frac{\pi}{4})+\sin(\frac{\pi}{4}+\pi)=0[/tex]

Hehe, det er sant ja. Av en eller annen grunn tenkte jeg vinkler størr enn pi som negative, men i ser nå jeg heller burde skrevet [tex]a_i \pm \pi[/tex].

claudeShannon wrote:

plutarco wrote:Vel, et moteksempel er jo

[tex]\sin(\frac{\pi}{4})+\sin(\frac{\pi}{4}+\pi)=0[/tex]

Hehe, det er sant ja. Av en eller annen grunn tenkte jeg vinkler størr enn pi som negative, men i ser nå jeg heller burde skrevet [tex]a_i \pm \pi[/tex].

Ok, men du kan vel ikke si noe slikt heller.

Et annet moteksempel er jo

[tex]\sin(\frac{\pi}{6})+\sin(\frac{\pi}{6})+\sin(-\frac{\pi}{2})=0[/tex]

Hva er den opprinnelige oppgaven?

Etter hva jeg har forstått skal det beregnes en Cramer-Rao Lower Bound for en estimator. Han som jobber med dette har kommet fram til et uttrykk som stemmer bra med simuleringer osv, men han mener at han bør ha en entydig løsning på [tex]\sum_{i=1}^N \sin(a_i) = 0[/tex], dvs kunne bevise hvordan settet med vinkler må være for at ligningen skal stemme.

Så spørsmålet er om det går an eller ei.

La [tex]\vec{x}=\langle x_1,x_2,...,x_N\rangle[/tex] være en vektor i [tex]R^N[/tex].

[tex]\sum_{i=1}^N \sin(x_i)=0[/tex] så

[tex]x_1=-\arcsin(\sum_{i=2}^N\sin(x_i))[/tex] og løsningene må ligge på den parametrisert flaten

[tex]\vec{x}=\langle -\arcsin(\sum_{i=2}^N\sin(x_i)),x_2,...,x_N\rangle[/tex]

Noe mer enn dette ser jeg ikke at vi kan konkludere med...

Takker for hjelpen. Skal sende det videre, så kan han se selv om det er er nok for beviset hans eller ei. Sier i fra hvis han finner det nyttig!