matematikk.net

hei
vil vite om dette er rett.

vis ved induksjon at 3^(2n+1)-5*2^(n+1) er delelig med 7 når n>0

S(n) <=> 7|3^(2n+1)-5*2^(n+1)
S(0) <=> 7|3^1-5*2^1 ok

S(k) => S(k+1)
anta
S(k) => 7|3^(2k+1)-5*2^(k+1)

3^2k+1 [symbol:identisk] 5*2^k+1 (mod7) /*3^2
3^2k+3 [symbol:identisk] 45*2^k+1 (mod7)
3^2k+3 [symbol:identisk] 10*2^k+1 (mod7)
3^2k+3 [symbol:identisk] 5*2^k+2 (mod7)
=> 7|3^(2k+3)-5*2^(k+2)

S(k+1) => 7|3^(2k+3)-5*2^(k+2)

For meg ser dette ut til å være ok!

vet noen om det finnes en enklare metode å bevise den på???

Antar at [tex]I = 3^{2k+1} - 5 \cdot 2^{k+1}[/tex] er delelig med 7.

[tex]3^{2k+1} = I + 5 \cdot 2^{k+1}[/tex]


n = k+1:

[tex]3^{2k+3} - 5 \cdot 2^{k+2}[/tex]

[tex]= 3^2 \cdot 3^{2k+1} - 5 \cdot 2 \cdot 2^{k+1}[/tex]

[tex]= 9 \cdot (I + 5 \cdot 2^{k+1}) - 10 \cdot 2^{k+1}[/tex]

[tex]= 9I + 45 \cdot 2^{k+1} - 10 \cdot 2^{k+1}[/tex]

[tex]= 9I + (45 - 10) \cdot 2^{k+1}[/tex]

[tex]= 9I + 35 \cdot 2^{k+1}[/tex]

Dette er delelig med 7 fordi I er delelig med 7 og 35 er delellig med 7.

Vet ikke om du syns dette er enklere, men.