matematikk.net

hvor mange heltallige løsn. har likninger X1+X2+X3+X4 = 40 dersom:

Xi > 0 for i = 1,2,3 og 4, og X1+X2 > X3+X4

[tex]x_1+x_2+x_3+x_4=40[/tex]

[tex]40\geq x_1+x_2 \geq 21[/tex]

Dersom [tex]x_1+x_2=40[/tex] er [tex]x_3+x_4=0[/tex]. Antallet måter dette kan gjøres på er [tex]41\cdot 1[/tex]

Dersom [tex]x_1+x_2=39[/tex] er [tex]x_3+x_4=1[/tex]. Antallet måter dette kan gjøres på er [tex]40\cdot 2[/tex] etc.

Totalt antall blir derfor

[tex]\sum_{k=1}^{20}k(42-k)[/tex]

skjønner ikke det du gjør
har løsninsforslag, men forstår ikke den:

løsningene faller i 3 typer:

i) X1+X2>X3+X4
ii) X1+X2=X3+X4 => X1+X2=20 og X3+X4=20
iii) X1+X2<X3+X4

av type ii)er det 21*21=441
det (selvsagt)like mange av type
i) som iii)
så
svar 12341-441/2= 5950

Ser ut til at fasiten antar at det totale antall ikkenegative heltallsløsninger uten noen form for føringer er kjent, og er 12341.

Deretter kan man utnytte symmetrien i oppgaven: det er klart at antall løsninger slik at [tex]x_1+x_2>x_3+x_4[/tex] er likt antall løsninger der [tex]x_1+x_2<x_3+x_4[/tex]. Lar vi dette antallet være x, blir

[tex]2x+441= 12341[/tex] , altså det totale antall løsninger.

For øvrig sammenfaller svaret med min metode i innlegget over.

takk