Lagrange, har jeg forstått det?
Posted: 14/11-2010 20:58
Gitt funksjonen
[tex]f (x, y) = 2xy[/tex]
Funksjonen f(x,y) har både et maksimumspunkt og et minimspunkt under bibetingelsen [tex]g(x,y) = x^2 + y^2 = 2 [/tex]
Kall maksimumsverdien for M og minimumsverdien for m. Da er [tex]2M + m[/tex] lik?
---
Bruker Lagrangefunksjonen.
[tex]L(x,y,z) = 2xy - z(x^2 + y^2 - 2) = 2xy - zx^2 - zy^2 + 2z[/tex]
Partiellderiverer
1) [tex]L\prime x = 2y - 2xz[/tex]
2) [tex]L\prime y = 2x - 2yz[/tex]
3) [tex]L\prime z = 2 - x^2 - y^2[/tex]
Setter alle lik 0 og løser 1 mhp z.
I) [tex]z = \frac yx[/tex]
setter inn for z fra 1 i 2 og løser mhp x.
II) [tex]2x - 2y(\frac yx) = 0[/tex]
[tex]x^2 = y^2[/tex]
Setter inn for [tex]x^2[/tex] i 3.
III) [tex]2 - y^2 - y^2 = 0[/tex]
[tex]y = \pm 1 [/tex]
Og siden x^2 = y^2, så gjelder også dette for x. Dermed har vi funnet fire potensielle punkter.
A(1,1), B(-1,-1), C(1,-1) og D(-1,1).
Setter vi inn for x og y i forhold til pkt A, så ser vi at z = 1. Dermed blir ikke likning 1 og 2 null for punkt C og D. Betyr dette at disse punktene ikke er maksimums- eller minimumspunkter?
De samme punktene gjør at den partiellderiverte av z blir 0. Holder ikke dette? Må alle de partiellderiverte være 0 for at vi skal ha de korrekte punktene?
Hvis det kun er pkt A og B som er reelle maksimums- og minimumspunkter, så får vi at:
f(1,1) = 2.
f(-1,-1) = 2.
Ergo gir begge punkter samme verdi.
[tex]f (x, y) = 2xy[/tex]
Funksjonen f(x,y) har både et maksimumspunkt og et minimspunkt under bibetingelsen [tex]g(x,y) = x^2 + y^2 = 2 [/tex]
Kall maksimumsverdien for M og minimumsverdien for m. Da er [tex]2M + m[/tex] lik?
---
Bruker Lagrangefunksjonen.
[tex]L(x,y,z) = 2xy - z(x^2 + y^2 - 2) = 2xy - zx^2 - zy^2 + 2z[/tex]
Partiellderiverer
1) [tex]L\prime x = 2y - 2xz[/tex]
2) [tex]L\prime y = 2x - 2yz[/tex]
3) [tex]L\prime z = 2 - x^2 - y^2[/tex]
Setter alle lik 0 og løser 1 mhp z.
I) [tex]z = \frac yx[/tex]
setter inn for z fra 1 i 2 og løser mhp x.
II) [tex]2x - 2y(\frac yx) = 0[/tex]
[tex]x^2 = y^2[/tex]
Setter inn for [tex]x^2[/tex] i 3.
III) [tex]2 - y^2 - y^2 = 0[/tex]
[tex]y = \pm 1 [/tex]
Og siden x^2 = y^2, så gjelder også dette for x. Dermed har vi funnet fire potensielle punkter.
A(1,1), B(-1,-1), C(1,-1) og D(-1,1).
Setter vi inn for x og y i forhold til pkt A, så ser vi at z = 1. Dermed blir ikke likning 1 og 2 null for punkt C og D. Betyr dette at disse punktene ikke er maksimums- eller minimumspunkter?
De samme punktene gjør at den partiellderiverte av z blir 0. Holder ikke dette? Må alle de partiellderiverte være 0 for at vi skal ha de korrekte punktene?
Hvis det kun er pkt A og B som er reelle maksimums- og minimumspunkter, så får vi at:
f(1,1) = 2.
f(-1,-1) = 2.
Ergo gir begge punkter samme verdi.