matematikk.net

Jeg har vist at [tex]\lim_{n\to \infty}\, n(\pi - 2\, \arctan\, n) = 2[/tex]

Jeg skal så vise at rekken [tex]\sum_{n=1}^\infty (\pi - 2 \,\arctan \,n)[/tex] er divergent.

[tex]n\cdot a_n = 2[/tex] når [tex]n\to \infty[/tex]. Da blir [tex]a_n = \frac2n[/tex] når [tex]n \to \infty[/tex].

Rekken [tex]\sum^\infty \frac2n[/tex] er divergent. Da er også den opprinnelige rekken divergent siden leddene går mot leddene i denne rekken.

Noe galt/upresist med dette?

*bump*

Tja, syns dette virket litt ullent.

Det du viser er jo bare at følgen [tex]\pi-2\arctan(n)\rightarrow 0[/tex], noe som ikke nødvendigvis impliserer divergens.

Jeg ville gjort det slik:

La [tex]a_n=\pi-2\arctan(n)[/tex]. Siden [tex]na_n\rightarrow 2[/tex] når [tex]n\rightarrow \infty[/tex] fins en [tex]\epsilon=\frac12[/tex] og en [tex]N[/tex] slik at [tex]|na_n-2|<\frac12[/tex] for alle [tex]n\geq N[/tex].


Dette impliserer at [tex]1<2-\frac12<na_n[/tex] for alle [tex]n\geq N[/tex].

Dette betyr at følgen [tex]\{a_n\}[/tex] fra og med [tex]n=N[/tex] er nedad begrenset av [tex]\{\frac{1}{n}\}[/tex]. Siden [tex]\sum_n \frac{1}{n}[/tex] divergerer, er også rekken [tex]\sum_n a_n[/tex] divergent.