Trippelintegral, grenser
Posted: 18/11-2010 08:10
Er det noen som har noen gode tips i hvordan man setter grenser for trippelintegraler? Jeg har store problemer med å se hvordan grensene skal være, endatil jeg tegner figur. Et eksempel:
Finn [tex]\iiint\limits_T x dV[/tex] hvor T er "tetrahedron" (usikker på norsk ord) bundet av planene x = 1, y = 1, z = 1 og x + y + z = 2.
Skisse:
Ble litt lite, her er link: http://bildr.no/view/760798
Jeg tenker slik:
itererer først i z-retning, og får setter grensene fra 0 til 2-x-y
Så tenkte jeg å iterere i y-retning. Der klarer jeg ikke komme til enighet med meg selv hva som er mest logisk. Ser jeg på xy-planet virker det logisk å sette grensene fra 0 til 1, ser jeg på toppen av figuren, som virker mest logisk, ville jeg hatt grensene fra 0 til 1-x.
Jeg holder på den siste, fordi om jeg projiserer figuren til xy-planet så får jeg den grensen.
Men, så utfører jeg nevnte integral, og vips. Feil svar. Uansett grenser
Utregning om det er nødvendig:
[tex]\iiint\limits_0^{2-y-x} x dzdA = \iint\limits_0^{1-x} x(2-y-x) dydx = \int\limits_0^1 \left[ x(2-x)y-\frac{xy^2}{2} \right]\limits_0^{1-x}dx \\ =\int_0^1 x(2-x)(1-x)-\frac{x(1-x)^2}{2} dx = \int_0^1 \frac{x^3}{2}-2x^2-\frac{3}{2}x dx \\ = \left[ \frac{x^4}{8}-\frac{2x^3}{3}-\frac{3x^2}{4}\right]_0^1[/tex]
Så, har dere noen tips til disse grensene? Finnes det en feilsikker måte å finne disse eller må man tegne tegning og analysere den?
Finn [tex]\iiint\limits_T x dV[/tex] hvor T er "tetrahedron" (usikker på norsk ord) bundet av planene x = 1, y = 1, z = 1 og x + y + z = 2.
Skisse:
Ble litt lite, her er link: http://bildr.no/view/760798
Jeg tenker slik:
itererer først i z-retning, og får setter grensene fra 0 til 2-x-y
Så tenkte jeg å iterere i y-retning. Der klarer jeg ikke komme til enighet med meg selv hva som er mest logisk. Ser jeg på xy-planet virker det logisk å sette grensene fra 0 til 1, ser jeg på toppen av figuren, som virker mest logisk, ville jeg hatt grensene fra 0 til 1-x.
Jeg holder på den siste, fordi om jeg projiserer figuren til xy-planet så får jeg den grensen.
Men, så utfører jeg nevnte integral, og vips. Feil svar. Uansett grenser
Utregning om det er nødvendig:
[tex]\iiint\limits_0^{2-y-x} x dzdA = \iint\limits_0^{1-x} x(2-y-x) dydx = \int\limits_0^1 \left[ x(2-x)y-\frac{xy^2}{2} \right]\limits_0^{1-x}dx \\ =\int_0^1 x(2-x)(1-x)-\frac{x(1-x)^2}{2} dx = \int_0^1 \frac{x^3}{2}-2x^2-\frac{3}{2}x dx \\ = \left[ \frac{x^4}{8}-\frac{2x^3}{3}-\frac{3x^2}{4}\right]_0^1[/tex]
Så, har dere noen tips til disse grensene? Finnes det en feilsikker måte å finne disse eller må man tegne tegning og analysere den?
