matematikk.net

Hvordan løser jeg likningen

[tex]iz^2+(1-i)z+1=0[/tex]

Dette er en andregradsligning, og du kan fortsatt bruke andregradsformelen ("abc"-formelen) selv om det er komplekse koeffisienter. Se hvor langt du kommer med den.

Jeg kommer nærme, men får ikke helt det samme svaret som fasiten. Men jeg er usikker på om jeg gjør den siste delen av oppgaven riktig.

Jeg kommer til

[tex]z=\frac{(-1+i)\pm\sqrt{-6i}}{2i}[/tex]

men derfra er jeg ikke helt sikker på hvordan jeg kan løse det.

Jeg prøvde å skrive -6i i eksponentsialform type

[tex]-6i=6e^{i((\frac{-\pi}{2})+2\pi k)}[/tex] Hvor k=0,1 (fordi det er kvadratrot)

Og dermed

[tex]z=\frac{(-1+i)\pm\sqrt{6e^{i((\frac{-\pi}{2})+2\pi k)}}}{2i}[/tex]

[tex]z=\frac{(-1+i)\pm\sqrt{3}\sqrt{2}e^{i((\frac{-\pi}{4})+\pi k)}}{2i}[/tex]

[tex]z=\frac{{\sqrt{2}e^{i((\frac{3\pi}{4}+\pi k)}}\pm\sqrt{3}\sqrt{2}e^{i((\frac{-\pi}{4})+\pi k)}}{2i}[/tex]


[tex]z=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2i} {\sqrt{2}e^{i((\frac{3\pi}{4}+\pi k)}}[/tex]

Derfra til fasiten er det ikke mye, men jeg klarer ikke den siste biten. Fasiten er som følger:

[tex]z=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2} {(1+i)}[/tex]

Har jeg gjort noe feil? Jeg klarer ikke den siste delen.

Du har ikke gjort noe feil. Du er nesten i mål nå! Ved å velge to forskjellige k-verdier kan du finne de to verdiene for [tex]\pm \sqrt{-6i}[/tex]. Da vil du se at du kan stryke bort faktorer slik at du står igjen med fasitsvaret.