matematikk.net

Hei. Jeg står litt fast på en oppgave, men det er ikke selve utregningen jeg sliter med - det er selve teorien bak hvordan man løser oppgaven. Håper noen kan hjelpe litt til med følgende problemstilling

Gitt flaten, S(1):

z = x^2 + y^2

Hvor x^2 + y^2 < 1

Og flaten, S(2):

z = 1

Hvor x^2 + y^2 < 1

Gitt videre at vi har et vektorfelt F. Finn:

[symbol:integral] [symbol:integral] curl F * dS

for S(2), og bruk Gauss's teorem til å finne det samme for S(1) når enhetsnormalen til S(1) peker innover, og enhets normalen til S(2) peker utover.

OK. I oppgaven har jeg klart å finne svaret for S(2). Når det gjelder Gauss' teorem setter jeg normalt opp:

Total flux = flux av overflate 1 + flux av overflate 2

Hvor vi altså kan finne den totale fluxen gjennom bruk av Gauss.

Det jeg sliter litt med i denne oppgaven, er at ikke begge normalene peker utover. Dersom jeg følger at:

Total flux = flux av overflate 1 + flux av overflate 2

får jeg flux til overflate 1 (som jo er det jeg skal finne) til å bli riktig uttrykk, men med motsatt fortegn. Er dette fordi normalen peker innover og ikke utover? Vil det i en slik situasjon være riktig å skrive:

Total flux = flux av overflate 2 - flux av overflate 1

Ettersom fluxen til overflate 1 er innover? Da blir nemlig svaret riktig.

Setter stor pris på om noen kan svare på dette! Dersom det er ønskelig at jeg gir mer konkret tallmateriale fra oppgaven, så kan jeg alltids gjøre dette selvsagt.

Gauss teorem relaterer overflateintegralet av en vektor over en lukket flate til volumintegralet av divergensen til vektorfeltet over rommet som flaten omslutter. Konvensjonen er slik at normalen til en lukket flate peker utover. Dette er også forutsetningen for Gauss teorem og er selvsagt også forutsetningen når en skal beregne fluxen ut av den lukkede flaten.

Dersom en gjør beregninger med enhetsnormaler som peker innover må en nødvendigvis endre fortegn.

Takk skal du ha! Så når vi har en slik situasjon som jeg beskrevet over, hvor det lukkede området er omsluttet av én overflate med nomral som peker innover, og én overlfate med normal som peker utover, så har jeg altså resonnert riktig?

Hvorfor ikke bare bruke curl-teoremet?

plutarco wrote:Hvorfor ikke bare bruke curl-teoremet?

Dette kan jeg utmerket gjøre (og har gjort for å bekrefte svaret ), men oppgaven ba også om at vi skulle finne svaret ved hjelp av Gauss.