matematikk.net

Hei!

Fikk god hjelp forrige gang jeg spurte om noe her, så prøver meg på et spørsmål til:)

Problemet omhandler et induksjonsbevis, som i og får seg går bra helt til jeg skal trekke sammen for å vist at

Q(k+1)=1/24 (k^4-2k^3+11k^2+14k+24)+1/6(k^3+5k+6) = 1/24((k+1)^4-2(k+1)^3+11(k+1)^2+14(k+1)+24

Når
Q(k)=1/24(k^4-2k^3+11k^2+14k+24)

1/6(k^3+5k+6) kommer fra et annet uttrykk, og jeg er sikker på at det er riktig satt opp, men skjønner ikke hvordan jeg skal trekke det sammen for å fullføre beviset..

Kan noen hjelpe meg?

Takk

Ved å omforme [tex]24Q(k)[/tex] til

[tex]24Q(k) \:=\: k^2(k - 1)^2 + 10k(k - 1) +24(k + 1),[/tex]

får vi at

[tex]24Q(k+1) \:=\: (k+1)^2k^2 + 10(k + 1)k +24(k + 2) \:=\: k^4 + 2k^3 + 11k^2 + 34k + 48.[/tex]

Dermed blir

[tex]24Q(k+1) - 24Q(k) \:=\: (k^4 + 2k^3 + 11k^2 + 34k + 48) - (k^4 - 2k^3 + 11k^2 + 14k + 24) \:=\: 4(k^3 + 5k + 4).\;[/tex]

Ved å dele på 24 blir resultatet

[tex]Q(k+1) \:=\: Q(k) \,+\, \frac{k^3 + 5k + 4}{6}[/tex] Q.E.D.

Tusen takk!