matematikk.net

Hei.

Denne oppgaven har ikke fasit, så jeg bare lurer på om noen kan være så snill å bekrefte/avkrefte at jeg har gjort det rett .

OPPGAVE:

Bruke Stokes' teorem til å finne [symbol:integral] [symbol:integral] curl F * ndS hvor F = (z^2)i -3xyj + (x^3)(y^3)k og overflaten S er delen av z = 5 - (x^2) - (y^2) som ligger over planet z = 1. Anta at S er orientert oppover.

LØSNINGSFORSLAG:

I planet z = 1 er randkurven gitt ved: 1 = 5 - (x^2) - (y^2).

Eller:

(x^2) + (y^2) = 4.

I dette planet vil vi ha normalvektor k

Vi kan derfor bruke Stokes' teorem:

[symbol:integral] [symbol:integral] curl F * ndS =
[symbol:integral] F * dr = [symbol:integral] [symbol:integral] curl F * kdA

Har at

curl F * k = -3y

Vi kan dermed sette dette opp som et dobbelt integral i polarkoordinater:

-3* [symbol:integral]dƟ [symbol:integral] (rsin(Ɵ))*r dr

Hvor første integral går mellom 0 og 2 [symbol:pi] og andre integral går mellom 0 og 2.

Løser i vei og får:

-8 * [symbol:integral] sin(Ɵ) dƟ

Dette integralet blir 0.

Altså har vi:

[symbol:integral] [symbol:integral] curl F * ndS = 0.


Som sagt, dersom noen kan bekrefte/avkrefte om fremgangsmåte og svar er riktig ville jeg satt veldig stor pris på det!

Både framgangsmåte og svar er ok. Dersom du ser på linjeintegralet er det klart at dette blir null av symmetrigrunner.

Flott! Takk skal du ha