matematikk.net

Hei.

Står litt fast på denne oppgaven, og trenger litt hjelp:

Finn:

[symbol:integral] F * dr

Når F = (-y/(((x+1)^2) + (y^2))i + (x+1)/(((x+1)^2) + (y^2))j

Og kurven C er en sirkel med sentrum i origo og radius 3.

OK. Jeg parametriserer selvsagt først kurven som:

r = 3cos(t)i + 3sin(t)j

Som gir:

dr = -3sin(t)i + 3cos(t)j

For F får jeg:

(-3sin(t))/(((3cos(t)+1)^2) + 9sin^2(t))i + (3cos(t)+1)/(((3cos(t)+1)^2) + 9sin^2(t))j

Tar

F * dr

og ender til slutt opp med:

(9 + 3cos(t))/(9 + 6cos(t) + 1)

I følge fasit skal jeg imidlertid på dette punktet ende opp med svaret 1, som, når integrert, gir svaret 2[symbol:pi]

Setter stor pris på om noen kan være så snill å vise utregningen her da jeg åpenbart gjør en feil et eller annet sted!

Jeg har dessverre litt dårlig tid til å se på utregningene dine, men jeg mener å se at i forhold til punktet (-1,0) er [tex]\vec F = \frac{1}{r}\vec e_\varphi[/tex]
På en tilfeldig sirkel omkring dette punktet er åpenbart [tex]\vec F \cdot d\vec r = 1[/tex]

I tillegg er [tex] \nabla \times \vec F = 0[/tex] overalt utenfor (-1,0).
Det betyr at alle kurveintegral som omslutter (-1,0) skal ha verdien 2 [symbol:pi] , slik at det nok er det rette svaret. Jeg har imidlertid problemer med å se at du skal ha [tex]\vec F \cdot d\vec r = 1[/tex] på sirkelen om origo. Forbehold for feil!

Du har nok helt rett! Punktet (-1, 0) er jo en singularitet, og dette punktet er inkludert i området omsluttet av kurven. Når resten av området er konservativt, vil selvsagt svaret bli 2 [symbol:pi]!