matematikk.net

Vi har en to funksjoner gitt ved

[tex]I \qquad \; x^2 - 2x - 2y = a[/tex]

[tex]II \qquad 2x + 3=y[/tex]

Vi kaller skjæringspunktet mellom y-aksen og [tex]I[/tex] for [tex]P[/tex], og skjæringspunktene mellom [tex]I[/tex] og [tex]II[/tex] for [tex]O[/tex] og [tex]Q[/tex]

a) For hvilke verdi av [tex]a[/tex] har [tex]P[/tex] og et av skjæringspunktene mellom I og II samme y-verdi?

b) Vi har en trekant der hjørnene er [tex]P,O,Q[/tex] for hvilken [tex]a[/tex] verdi har trekanten arealet [tex]4[/tex] og [tex]0[/tex]?

c) Er trekanten noensinne rettvinklet? Finn i så tilfelle [tex]a[/tex] verdien og arealet.

d) For hvilke verdier av [tex]a[/tex] er arealet av [tex]POQ[/tex] et heltall?

----------------------------------------------------------

Har tenkt litt men vet ikke helt hvor jeg skal begynne, all hjelp mottas med takk.

Hmm, endret du på oppgaveteksten i a)?

Uansett,

a) Jeg regner med det er null problem å finne skjæringspunktet mellom I og y-aksen? For å finne skjæringspunktene mellom I og II kan du jo skrive I på formen [tex]y = \frac{1}{2}x^2 - x - \frac{1}{2}a[/tex]. Da bør det vel gå greit å finne et uttrykk for skjæringspunktene uttrykt ved a. Ser du hva du kan gjøre videre?

Kanskje du får til de andre når du har gjort denne?

Ikke noe problem å finne skjæringspunktet mellom y-aksen og [tex]a[/tex] for likning [tex]I[/tex]. Ei heller noe problem med å finne skjæringspunktene mellom [tex]I[/tex] og [tex]II[/tex].

Problemet oppstår når jeg skal velge [tex]a[/tex] verdier slik at [tex]P[/tex] og enten [tex]O[/tex] eller [tex]Q[/tex] er parallelle med x-aksen. Altså at de har samme y-verdi.

EDIT

WOOH der gikk a) opp. Noen tips til de andre?

Ja. Etter litt tenking, kommer jeg på noe slikt, men det kan godt være en dårlig måte!

V.h.a. trigonometri kan du finne høyden fra P og ned på OQ i trekanten ved å bruke den kjente lengden fra P til skjæringspunktet mellom den rette linja og y-aksen. Da gjenstår det å finne det som da blir grunnlinja i trekanten, OQ, som bør gå greit etter litt regning.

Si fra om du kommer på en bedre måte.

Tenkte først herons formel, også rotet jeg meg vekk når jeg skulle finne sidene. så tenkte jeg arealsetningen [tex]A=\frac{1}{2}ab\sin(C)[/tex]
Men kommer ikke på noen bedre metode.

Uansett fikk løst den, og kom frem til at arealet av trekanten ble

[tex]A(a)=\frac{1}{10}\cdot\sqrt{5(75+5a)}\cdot(a+6)[/tex]

Som gjorde det veldig lett å løse for 0 og 4.

Da mangler jeg bare b og c, har du kanskje noen tips der og ? ^^

Ja, da kom vi hvertfall frem til det samme.

Men ang. c) så kan du vel bruke flere metoder. Du kan f.eks. sette opp vektorene OQ og OP (dersom O er punktet nærmest P) og så sette opp at skalarproduktet skal være 0. Eventuelt bruke at trekanten er rettvinkla hvis [tex]SP \cos \theta = OP[/tex], der S er skjæringspunktet mellom II og y-aksen og [tex]\theta[/tex] er vinkelen mellom II og positiv x-akse. Du kan finne et eksakt uttrykk for cosinusverdien, for du har jo tangensverdien (2).

på d) så er det vel bare å se hva som må til for å få et heltall. I uttrykket ditt kan du trekke ut 25 fra rota og få [tex]\frac{1}{2}\sqrt{15+a}(6+a)[/tex] som sikkert er litt lettere å vurdere.