matematikk.net

Har litt trøbbel med å finne ut om denne konvergerer eller divergerer:

[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^n}{n^{n+2}}[/tex]

Det står et hint, men jeg greier ikke å finne noen måte å bruke det på.

Hint: [tex]\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n = e[/tex]

Forholdtesten gir 1, rot-testen gir 1, leddene går mot 0. Divergerer i følge Mathematica.

Jeg tror denne her skal konvergere, bruk at det finnes en N slik at [tex](1+\frac{1}{n})^n \leq 2e[/tex] for alle n>N. Siden leddene i summen er [tex](1+\frac{1}{n})^n\frac{1}{n^2}[/tex] ser du kanskje at dette kan ligne på en kjent sum når n er større enn N.

Takktakk, der skjønte jeg det.