Differentiallikning

[Nebuchadnezzar]

Oppgave jeg har problemer med

En kompostkasse blir tilført 19kg matavfall per uke. På grunn av omdanninger blir avfallet i kassen 5% (av det avfallet som til enhver tid er i kassen) letter per uke. La y være avfallsmengden t uker etter utgangspunktet. I utgangspunktet var det 40kg avfall i kassen.

a) Sett opp en differentiallikning og bestem et uttrykk for avfallsmengden y etter t uker.

b) Hvor lang tid tar det før det er 200kg i kassen?

Har problemer emd å sette opp differentiallikninger, løse dem går fint. Noen som kan forklare hvordan differentiallikningen blir?

Tenkte på å sette den opp slik, men er veldig usikker.

[tex]y^{\tiny\prime}(t)=y(t)0.05[/tex]

[ettam]

Prøv med:

[tex]y^\prime (t) = 19 \,+\, 0,05 \cdot y(t)[/tex] og [tex]y(0)=40[/tex]

[Markonan]

Men det skal vel tilføres 19 per uke, så 19 vil avhenge av t og være inkludert i y(t)? Eller tenker jeg helt leif nå?

[Nebuchadnezzar]

Sikekr på det? Kassen blir jo 5% lettere hver uke, ikke tyngre... Altså 19kg blir lagt til mens 5% blir trukker fra..

Uansett, ser denne utregninga riktig ut? =)



[tex]y^{\tiny\prime} = 0.05y\left( t \right) + 19{\rm{ }}og{\rm{ }}y\left( 0 \right) = 40 [/tex]

[tex] y^{\tiny\prime} = 0.05y\left( t \right) + 19 [/tex]

[tex] y^{\tiny\prime}{e^{ - 0.05t}} - 0.05y\left( t \right){e^{ - 0.05t}} = 19{e^{ - 0.05t}}[/tex]

[tex] \left( {y{e^{ - 0.05t}}} \right)^{\tiny\prime} = 19{e^{ - 0.05t}}[/tex]

[tex] y{e^{ - 0.05t}} = - 380{e^{ - 0.05t}} + C [/tex]

[tex] y = C{e^{0.05t}} - 380 [/tex]

[tex] \underline{\underline {y = 420{e^{0.05t}} - 380}} [/tex]

[Nebuchadnezzar]

bump =) Sorry for bumpinga men innlevering snart ^^

[Audunss]

Kan ikke se annet enn at du har rett, at det at den blir 5% lettere gjør at vekten likningen blir y'(t)=19-0.05y(t)

Utrekningen din ser rett ut, og vil ikke være vanskelig å omformulere for den nye likningen.

[Gustav]

Enig med Audunss. Det skal nok være [tex]y^,(t)=19-0.05y(t)[/tex] med startbetingelsen [tex]y(0)=40[/tex].

[Nebuchadnezzar]

Så da klarte jeg og løse denne og

[tex]y(t)\,=\,380-320e^{-\frac{1}{20}t}[/tex]



Lite spørsmål

Hvorfor er [tex]\lim_{t \to \infty}\,y(t)=380\;\, [/tex]?
Altså jeg forstår hvordan matten er, men hvorfor kan ikke vekten i søppeldunken overstige 380 kg?

[Vektormannen]

Tenk deg at du har 380kg i kassen. Når neste uke kommer har det kommet 19kg nytt avfall i kassen, men samtidig har 5% av 380kg = 19kg forsvunnet.

[Nebuchadnezzar]

Så Lur du er, tusen takk.

[ettam]

Beklager fortegnsfeilen!