matematikk.net

Det virker som integralet

[tex]I=\lim_{x\to-\infty}\int_x^{0}|t|^t \rm{d}t=2[/tex]

Kan dette vises analytisk?

Jeg fikk i hvert fall

[tex]\int^0_x t^t dt = \sum^{\infty}_{n=0} (-1)^n\pi^{2n}x^{2n+1}\sum^{2n}_{k=0}\frac{(\log x)^k(-1)^k}{k!(2n+1)^{2n+1-k}}+i \sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n\pi^{2n+1}x^{2n+2}\sum^{2n+1}_{k=0}\frac{(\log x)^k(-1)^{k-1}}{k!(2n+2)^{2n+2-k}}[/tex]

Så det som må vises er vel at imaginærdelen går mot 0 og den reelle delen går mot 2. Det ser dog ganske vanskelig ut å vise, men er i hvert fall noe å ta utgangspunkt i.

EDIT: En liten feil, får heller
[tex]\int^0_x t^t dt = \sum^{\infty}_{n=0} (-\pi i)^{n}x^{n+1}\sum^{n}_{k=0}\frac{(\log x+\pi i)^k(-1)^k}{k!(n+1)^{n+1-k}}[/tex]

Ah, feil i det opprinnelige innlegget. Det var

[tex]\int_x^0 |t|^t \rm{d}t[/tex]

det var snakk om. Hvordan endrer dette situasjonen?