matematikk.net

Sliter med å finne nullpunktene til denne funksjonen som har [tex]{x E [0,\frac{2pi}{3}]}[/tex];

[tex]{f(x)= 6 sin x-8sin^3 x}[/tex]

Har funnet ut at den deriverte er;
[tex]{f(x)= 6 cos x-24 sin^2 x * cos x}[/tex]

noen som kan hjelpe?

EDIT: Topp og bunnpunktene*

Hvorfor tenker du på den deriverte når du skal finne nullpunkter? Et nullpunkt er et punkt på funksjonen der funksjonsverdien er 0. Den deriverte gir deg stigningen til funksjonen, men den kan jo være hva som helst i et nullpunkt. Det du må gjøre her er å sette f(x) lik 0. Ser du hva du kan gjøre videre da?

Beklager, men jeg skrev feil. Jeg sliter med å finne topp og bunnpunktene!

Sarah wrote:Beklager, men jeg skrev feil. Jeg sliter med å finne topp og bunnpunktene!

start sånn:

[tex]6\cos(x)*\left(1\,-\,4\sin^2(x)\right)=0[/tex]

Janhaa wrote:

Sarah wrote:Beklager, men jeg skrev feil. Jeg sliter med å finne topp og bunnpunktene!

start sånn:

[tex]6\cos(x)*\left(1\,-\,4\sin^2(x)\right)=0[/tex]

Det har jeg gjort, og jeg har funnet 2 av dem, som er pi/2 og pi/6. Men det er 2 løsninger til, som jeg ikke klarer å finne.

Riktig svar; pi/2, pi/6, 0 og 2pi/3

Sarah wrote:

Janhaa wrote:

Sarah wrote:Beklager, men jeg skrev feil. Jeg sliter med å finne topp og bunnpunktene!

start sånn:
[tex]6\cos(x)*\left(1\,-\,4\sin^2(x)\right)=0[/tex]

Det har jeg gjort, og jeg har funnet 2 av dem, som er pi/2 og pi/6. Men det er 2 løsninger til, som jeg ikke klarer å finne.
Riktig svar; pi/2, pi/6, 0 og 2pi/3

jeg får samme som deg!
punktene: 0 og (2[symbol:pi])/3 er jo funksjonens nullpunkter...

Janhaa wrote:

Sarah wrote:

Janhaa wrote: start sånn:
[tex]6\cos(x)*\left(1\,-\,4\sin^2(x)\right)=0[/tex]

Det har jeg gjort, og jeg har funnet 2 av dem, som er pi/2 og pi/6. Men det er 2 løsninger til, som jeg ikke klarer å finne.
Riktig svar; pi/2, pi/6, 0 og 2pi/3

jeg får samme som deg!
punktene: 0 og (2[symbol:pi])/3 er jo funksjonens nullpunkter...

Ja, det har jeg funnet på forrige oppgave. Men læreren min sa at et punkt kan både være en toppunkt og et nullpunkt. Og det kan man se når man tegner grafen. Men jeg klarer fortsatt ikke å finne de topp og bunnpunktene ved regning.

Nullpunkter:

[tex]f(x)=0 \Leftrightarrow 6 sin x - 8 sin^3 x = 0 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow sin x (6-8 sin x^2) = 0 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow sin x=0 \ \vee \ 6-8sin x^2 =0 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow sin x=sin 0 \ \vee \ \pm \frac{\sqrt{3}}{2}=sin x \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow sin x=sin 0 \ \vee \ \pm sin {\frac{\pi}{3}}=sin x\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow sin x=sin 0 \ \vee \ sin {\frac{\pi}{3}}=sin x \ \vee \ sin (-{\frac{\pi}{3}})=sin x \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow x=0 \ \vee \ x=\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{3} \ \vee \ x=\frac{2 \pi}{3} \ \vee \ x=-\frac{\pi}{3} \ \vee \ x=\frac{4\pi}{3}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow x=\frac{k\pi}{3} \forall k \in \mathbb{Z}[/tex]

I intervallet [tex][0;\frac{2\pi}{3}][/tex] Har bare x tre mulige verdier for nullpunkt, faktisk [tex]\{0;\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\}[/tex].

Thales wrote:Nullpunkter:

[tex]f(x)=0 \Leftrightarrow 6 sin x - 8 sin^3 x = 0 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow sin x (6-8 sin x^2) = 0 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow sin x=0 \ \vee \ 6-8sin x^2 =0 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow sin x=sin 0 \ \vee \ \pm \frac{\sqrt{3}}{2}=sin x \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow sin x=sin 0 \ \vee \ \pm sin {\frac{\pi}{3}}=sin x\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow sin x=sin 0 \ \vee \ sin {\frac{\pi}{3}}=sin x \ \vee \ sin (-{\frac{\pi}{3}})=sin x \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow x=0 \ \vee \ x=\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{3} \ \vee \ x=\frac{2 \pi}{3} \ \vee \ x=-\frac{\pi}{3} \ \vee \ x=\frac{4\pi}{3}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow x=\frac{k\pi}{3} \forall k \in \mathbb{Z}[/tex]

I intervallet [tex][0;\frac{2\pi}{3}][/tex] Har bare x tre mulige verdier for nullpunkt, faktisk [tex]\{0;\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\}[/tex].

Alle de tre nullpunktene har jeg funnet, men jeg klarer ikke å finne alle topp og bunnpunktene.

Topp og bunnpunkter

Får å finne topp og bunnpunkter må vi vite når f'x=0.

[tex]f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 6 cos x - 24 cos x sin x^2 = 0 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow 6 cos x (1-4 sin x^2) = 0 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow cos x=0 \ \vee \ 1-4sin x^2 =0 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow cos x=cos {\frac{\pi}{2}} \ \vee \ \pm \frac{1}{2}=sin x \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow cos x=cos{\frac{\pi}{2}} \ \vee \ \pm sin {\frac{\pi}{6}}=sin x\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow cos x=cos{\frac{\pi}{2}} \ \vee \ sin {\frac{\pi}{6}}=sin x \ \vee \ sin (-{\frac{\pi}{6}})=sin x \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2} \ \vee \ x=-\frac{\pi}{2} \ \vee \ x=\frac{\pi}{6} \ \vee \ x=\frac{5 \pi}{6} \ \vee \ x=-\frac{\pi}{6} \ \vee \ x=\frac{7\pi}{6}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow x=\frac{(2k+1)\pi}{6} \forall k \in \mathbb{Z}[/tex]

I intervallet [tex][0;\frac{2\pi}{3}][/tex] Har kan bare k være 1 og 2 [tex]\Rightarrow x \in \{\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\}[/tex].
Dette er topp og bunnpunktene i det gitte intervallet

Thales wrote:Topp og bunnpunkter

Får å finne topp og bunnpunkter må vi vite når f'x=0.

[tex]f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 6 cos x - 24 cos x sin x^2 = 0 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow 6 cos x (1-4 sin x^2) = 0 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow cos x=0 \ \vee \ 1-4sin x^2 =0 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow cos x=cos {\frac{\pi}{2}} \ \vee \ \pm \frac{1}{2}=sin x \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow cos x=cos{\frac{\pi}{2}} \ \vee \ \pm sin {\frac{\pi}{6}}=sin x\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow cos x=cos{\frac{\pi}{2}} \ \vee \ sin {\frac{\pi}{6}}=sin x \ \vee \ sin (-{\frac{\pi}{6}})=sin x \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2} \ \vee \ x=-\frac{\pi}{2} \ \vee \ x=\frac{\pi}{6} \ \vee \ x=\frac{5 \pi}{6} \ \vee \ x=-\frac{\pi}{6} \ \vee \ x=\frac{7\pi}{6}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow x=\frac{(2k+1)\pi}{6} \forall k \in \mathbb{Z}[/tex]

I intervallet [tex][0;\frac{2\pi}{3}][/tex] Har kan bare k være 1 og 2 [tex]\Rightarrow x \in \{\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\}[/tex].
Dette er topp og bunnpunktene i det gitte intervallet

Disse punktene har jeg også funnet, men fasiten sier at det er 2 punkter til, som er 0 og 2pi/3.

Sarah wrote: Disse punktene har jeg også funnet, men fasiten sier at det er 2 punkter til, som er 0 og 2pi/3.

Ah, nå forsåt jeg. 0 og 2[symbol:pi] /3 er ikke toppunkt eller bunnpunkt fordi f'(0) og f'(2[symbol:pi] /3) [symbol:ikke_lik] 0. Dermed så er ellers fasiten feil, ellers så har du oversett en del av oppgaven...

EDIT:

Sjekk om oppgaven spørr om topp og bunnpunkt til f'(x). For da får du nemlig 0 og 2 [symbol:pi] /3

Du har regnet helt riktig, og funnet de globale topp-, og bunnpunkter når [tex]x \in \left[ 0, \frac{2\pi }3 \right][/tex]. Fasiten har derimot også tatt med endepunktene da definisjonsmengden for [tex]f[/tex] er et lukket intervall.

Oppgaven sier: finn toppunktene og bunnpunktene til f ved regning.

Jeg skjønner at de kan være topp og bunnpunkter når man ser på grafen. Men hvordan skal jeg kunne finne disse ved regning?