matematikk.net

Legger ut denne jeg, hvis noen vil ha noe å øve på etc. Hvis noen andre enn meg har hatt denne eksamen kan vi jo diskutere den her.

Tillatte hjelpemiddel: enkel kalkulator og et ferdiglaget formelark printet på oppgavearket.

Oppgave 1
Gitt funksjonen [tex]f(x) = \ln x + \frac{1}{2x} - 1[/tex], definert for [tex]x > 0[/tex].

a) Finn alle ekstremalpunktene til [tex]f[/tex] og avgjør hvor [tex]f[/tex] er voksende og hvor [tex]f[/tex] er avtagende. Har [tex]f[/tex] noen vertikale eller horisontale asymptoter?

[tex]b)[/tex] Hvor mange nullpunkt har [tex]f[/tex]? (Husk å begrunne!)

Oppgave 2
Gitt funksjonen

[tex]h(x) = \left\{ \begin{array}{lr} x^3 + 2x + 4 \ , \ \text{for} x \geq 0\\ Ax^2 + B \ , \ \text{for} x < 0 \end{array} \right.[/tex]

For hvilke verdier av A og B har [tex]h[/tex] en inversfunksjon [tex]h^{-1}[/tex]? Finn den deriverte [tex](h^{-1})^\prime(7)[/tex].

Oppgave 3

Området under grafen til [tex]f(x) = e^x \sqrt{\cos x} - 1[/tex] og over linja [tex]y = -1[/tex], for [tex]0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}[/tex], roteres om linja [tex]y=-1[/tex]. Tegn figur og beregn volumet av legemet som fremkommer.

Oppgave 4

En nyttårsrakett blir skutt vertikalt opp fra et utskytingsstativ. Ei jente står 20 meter unna utskytingsstativet. I det raketten er 15 meter oppe i luften observerer hun at avstanden mellom raketten og henne øker med 0.75 meter per sekund. Hva er rakettens vertikale hastighet i dette øyeblikket? (Du kan anta at bakken er horisontal og at alle målinger starter ved bakkenivå.)

Oppgave 5
Gitt funksjonen

[tex]g(x) = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{\sin x}{x} \ , \ \text{for} x \neq 0\\ 1 \ , \ \text{for} x = 0 \end{array} \right.[/tex]

Finn [tex]g^\prime(0)[/tex] og [tex]g^{\prime \prime}(0)[/tex] dersom de eksisterer.

Oppgave 6
Løs det ubestemte integralet

[tex]\int \frac{5x + 5}{(1-x)(x^2 + 2x + 2)} \text{dx}[/tex]

Oppgave 7

a) Løs differensialligningen

[tex]y^\prime = \frac{y}{\sqrt x + 1} \ \ \ (x > 0)[/tex]

b) Finn den løsningen av differensialligningen [tex]y^{\prime \prime} + 6y^\prime + 9 = 0[/tex] som har toppunkt i (0,2).

EDIT: Her har eksamensforfatteren ment den andreordens homogene differensialligningen [tex]y^{\prime \prime} + 6y^\prime + 9y = 0[/tex].

Oppgave 8
La [tex]f[/tex] være en kontinuerlig og deriverbar funksjon på [tex][a,b][/tex]. Anta at [tex]f^\prime[/tex] også er kontinuerlig på [tex][a,b][/tex]. Vis at da finnes det en konstant [tex]K[/tex] slik at

[tex]|f(x) - f(y)| \leq K|x-y|[/tex]

for alle [tex]x, y \in [a,b][/tex].

Mine svar:

Oppgave 1

a) Bunnpunkt i [tex](\frac{1}{2}, - \ln 2)[/tex]. Synker før dette og stiker etter dette. Vertikal asymptote x = 0.

b) Svarte ett nullpunkt her, men ser nå at det var to... Ser ut som jeg har tenkt at det var -1/(2x) eller noe.

Oppgave 2

Svarte at [tex]A < 0, \ B \leq 4[/tex] for at h skal være injektiv. Fant at [tex](h^{-1})^\prime(7) = \frac{1}{5}[/tex].

Oppgave 3

Tegnet visst grafen feil her, men oppsett av integral osv. skal bli rett likevel. Jeg fant at [tex]V = \pi\left[\frac{2}{5}e^{2x}\cos x - \frac{1}{5}e^{2x}\sin x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{5}(e^\pi - 2)[/tex]

Oppgave 4

Her slurvet jeg og ganget med 0.25 i stedet for 0.75 og fikk da 5/12. Tror utreningen ellers skal være riktig. Med samme metode og riktig fart får jeg 5/4.

Oppgave 5

Fant at begge eksisterer og er henholdsvis [tex]g^\prime(0) = 0[/tex] og [tex]g^{\prime \prime} = -\frac{1}{3}[/tex]

Oppgave 6

Fikk [tex]I = \ln\left|\frac{x^2 + 2x + 2}{(x-1)^2}\right| - \arctan(x+1) + C[/tex]

Oppgave 7

a) Fikk her at [tex]y = C \cdot \left(\frac{e^{\sqrt x + 1}}{\sqrt x + 1}\right)^2[/tex]

b) Denne dreit jeg meg ut på. Leste ikke godt nok og fikk det for meg at det var [tex]y^{\prime \prime} + 6y^\prime + 9y = 0[/tex], og løse videre med å løse karakteristisk ligning og så videre...

Oppgave 8

Brukte sekantsetningen og viste at ulikheten oppfylles om man velger K til å være den som er størst av absoluttverdien til funksjonsverdien i det globale toppunktet og det globale bunnpunktet.

Vektormannen wrote:b) Denne dreit jeg meg ut på. Leste ikke godt nok og fikk det for meg at det var [tex]y^{\prime \prime} + 6y^\prime + 9y = 0[/tex], og løse videre med å løse karakteristisk ligning og så videre...

Å vite at noen andre gjorde samme feil som meg selv letter børen noe...

Ellers enig med alle svarene dine.

På 7 a) fikk jeg (ekvivalent) [tex]y=C\frac{e^{2\sqrt{x}}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}[/tex]

På oppgave 8 var min argumentasjon etter å ha brukt sekantsetningen slik:
[tex]f^\prime (x)[/tex] er kontinuerlig på [tex][a,b][/tex]. Derfor kan ikke [tex]f^\prime (x)[/tex] stige ubegrenset på dett intervallet. Av dete følger at det finnes [tex]k\in (a,b)[/tex] slik at [tex]x\neq k \Leftrightarrow |f^\prime (x)|\leq |f^\prime (k)|[/tex]. Velg derfor [tex]K\geq |f^\prime (k)|[/tex] for å oppfylle oppgavebetingelsen for alle [tex]x,y\in[a,b]\,,\,x\neq y[/tex]. Observer likhet når [tex]x=y[/tex] og oppgaven er besvart.

Ja, var sleip oppgave 7b altså... I 7a har du bare latt [tex]e^1[/tex] være med i konstanten, ikke sant?

Beviset ditt i 8 ser bra ut såvidt jeg kan se, jeg tror våre bevis sier omtrent det samme, bare formulert forskjellig. Midt gikk som følger:

Sekantsetningen gir at [tex]\frac{|f(x) - f(y)|}{|x-y|} = |f^\prime(c)| \, \ c \in (x,y)[/tex]. Siden f' er kontinuerlig og definert på et lukket intervall, er den garantert å ha et globalt toppunkt p og et globalt bunnpunkt q. Hvis man da velger K som den største av [tex]|f^\prime(p)|[/tex] og [tex]|f^\prime(q)|[/tex] så vil [tex]|f^\prime(c)| \leq K[/tex] og da er [tex]|f(x) - f(y)| \leq K|x-y|[/tex].

Generelt er kontinuerlige bilder av kompakte mengder kompakte, derfor er [tex]|f^,|[/tex] på [tex][a,b][/tex] begrenset av en konstant [tex]K[/tex] (siden alle kompakte delmengder av [tex]R[/tex] er lukket og begrenset (av Heine-Borels teorem).)

Jeg bommet på 7a) og fikk [tex]I = Ce^{2\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)^2[/tex] og på 8 skrev jeg at [tex]f^,(x) \leq K[/tex] for K lik f-maks, i stedenfor å sette K større enn eller lik absoluttverdien av det "største" ekstremalpunktet.

Jeg synest denne var betydelig vanskeligere enn forrige eksamener. Blir det justert for det?

Eller for å stille et viktigere spørsmål: ryker Aen?

Vektormannen wrote:Ja, var sleip oppgave 7b altså... I 7a har du bare latt [tex]e^1[/tex] være med i konstanten, ikke sant?

Ja, det stemmer.

Eller for å stille et viktigere spørsmål: ryker Aen?

A krever vel vanligvis minst 90% uttelling.


Hvordan e fordelingen av poengene? (Likt over deloppgaver eller likt over heloppgaver?)

espen180 wrote: Hvordan e fordelingen av poengene? (Likt over deloppgaver eller likt over heloppgaver?)

Jeg tror utgangspunktet ofte er lik fordeling over deloppgaver - men etter første retting så gjøres det vel tilpasninger hvis det er noe som tydeligvis har vært vanskeligere enn først antatt (evnt lettere).

Godnyheter! Viser seg at Heidi Dahl hadde skrevet feil i oppgave 7b, og faktisk mente å skrive en andre ordens homogen differensialligning. Begge løsningene skal vurderes likt.

Hørte det samme av henne i dag. Da kan vi puste lettet ut.

Ja, det kan vi

Ser forresten at løsningsforslag til høstens eksamen i Linær algebra og geometri er lagt ut her. Nå husker jeg ikke så mange av svarene mine da. Håper bare bevisene var gode nok. Per Hag er jo ganske omstendig kan man si.

Hadde en del på 4b som kanskje var unødvendig. (Tror jeg viste to ganger at det bare er den trivielle løsningen.

Jeg skjønner ikke helt argumentasjonen hans på 5 ii), kanskje jeg må gå gjennom den selv først. Jeg argumenterte ihvertfall at dersom det(A)=0, vil radene i A være lineare kombinasjoner av hverandre, og følgelig vil også radene og kolonnene i adj(A) være lineære kombinasjoner av hverandre eller ha en eller flere nullrader eller nullkolonner. Derfor vil det(adj(A))=0 og likheten er oppfylt.

Du tok ikke vare på de gule arkene, Vektormannen?

Jo, men ser ut som jeg har kastet dem i en av mine sjeldne rydderunder i hybelen.