La oss si at jeg har en kontinuerlig funksjon [tex]f(x)[/tex], og jeg gir en transformasjon [tex]f(x)->(u(x),l(x))[/tex] som er slik at [tex]f(x)+f(x+u(x))=l(x)[/tex], der [tex]u(x)[/tex] er en kontinuerlig funksjon og [tex]l(x)=ax+b[/tex] er en rett linje.
1) Finnes et slikt par [tex](u(x),l(x))[/tex] for alle kontinuerlige funksjoner [tex]f(x)[/tex]?
2) Hvis svaret på 1) er ja, kan man alltid finne igjen [tex]f(x)[/tex] gitt [tex](u(x),l(x))[/tex]?
Funksjonstransformasjon
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jeg er ikke helt sikker på om jeg skjønner. Er spørsmål 1) om hvorvidt en gitt en kontinuerlig funksjon f kan finne kontinuerlige funksjoner u, l slik at f(x)+f(x+u(x))=l(x) der l(x)=ax+b for konstanter a, b? Er funksjonene også antatt definert på hele R?
Det du ber om er en funksjon u(x) slik at f(x)+f(x+u(x)) er en lineær funksjon.
Som karl erik spør om antar jeg du mener om det finnes en slik u for en gitt f(x). Dette er klart et strengt svakere kriterie enn alternativet, men selv her lar det seg ikke gjøre. Hvis f.eks f(x) = 2^x, vil f(x)+f(x+u(x)) være 2^x(1+2^(u(x)). Dette kan umulig være ei rett linje.
Som karl erik spør om antar jeg du mener om det finnes en slik u for en gitt f(x). Dette er klart et strengt svakere kriterie enn alternativet, men selv her lar det seg ikke gjøre. Hvis f.eks f(x) = 2^x, vil f(x)+f(x+u(x)) være 2^x(1+2^(u(x)). Dette kan umulig være ei rett linje.
Ja, det var slik jeg mente det. Hver [tex]f(x)[/tex] har sin [tex]u(x)[/tex] og [tex]l(x)[/tex]. Hvis vi anter at [tex]f(x)[/tex] er et medlem av megden av funksjoner som har en slik [tex](u(x),l(x))[/tex], hvordan står det da til med 2)?
Også her blir svaret nei. Anta l(x)=0, [tex]u(x)=\pi[/tex]. Da er [tex]f_1(x)=0[/tex], [tex]f_2(x)=\sin(x)[/tex], [tex]f_3(x)=\cos(x)[/tex] tre funksjoner som tilfredsstiller likningen, men disse er klart ulike. Altså kan en ikke nødvendigvis bestemme f gitt u, l.