matematikk.net

Anta at ventetiden for en bestilling på McDonalds er normalfordelt med [tex]\mu = 4,1[/tex] minutter og [tex]\sigma = 1,3[/tex] minutter.

1) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kunde må vente mellom 4,0 og 4,2 minutter.

[tex]P(4,0 \leq Z \leq 4,2) \approx G(0,08) - G(-0,08)[/tex]

leser av tabell

[tex]P(4,0 \leq Z \leq 4,2) \approx 0,5319 - 0,4681 = 0,0638[/tex]

Kan dette stemme?

Så kommer det jeg er totalt usikker på, nemlig:

2) For et tilfeldig utvalg av ti personer, hva er sannsynligheten for at
gjennomsnittlig ventetid er mellom 4.0 og 4.2 minutter?

Hvordan stiller dette seg, når man går fra én tilfeldig til ti tilfeldige personer?

Tror nok det første stemmer ja, på den andre oppgaven må du vell legge sammen fordelingene, du får summen av ti like fordelinger, du har en formel for forventningsverdi og varians for det, finn disse tallene, og regn ut på nytt.

Jeg har ikke intuisjon nok til å se dette. Har ikke bøker eller noe, men fant en oppgave og ville prøve meg. Har også tittet på statistikk-spillelisten hos Khan Academy på YouTube.

Dette har så langt ikke ført frem til noen forståelse rundt dette. Vil du utdype svaret ditt litt, gjerne mer generelt, hvis det passer deg best?

Regner med at du intuitivt ser at forventningen til tiden til X antall personer i kø, er forventningen til en person ganger X, så vi forventer at 10 personer bruker 4.1*10=41 min, 20 personer bruker 82 min etc. Nesten like intuitivt vil jeg si det er at variansen går relativt sett ned, siden når det er flere personer vil avvikene nulle hverandre ut.

Det viser seg at det er en formel for denne variansen, så om du har N uavhengige normalfordelte variable med forventning=A og varians=B er forventningen til summen av variablene lik N*A og variansen= [symbol:rot] N*B.

Så du får en forventning lik 41 og varians lik [symbol:rot] 10*1.3.

http://no.wikipedia.org/wiki/Sentralgrenseteoremet

Teorien du trenger for å løse denne oppgaven kan oppsummeres:

Sum av normalfordelte stokastiske variabler

La [tex]X_i [/tex], [tex]i\in \{1,2,...,10\}[/tex] være normalfordelte stokastiske variabler med forventning [tex]\mu[/tex] og varians [tex]\sigma^2[/tex].

Gjennomsnittet er [tex]\overline{X}=\frac{\sum_{i=1}^{10}X_i}{10}[/tex].


Antagelse: [tex]X_i[/tex]-ene er uavhengige. Det kan vises at summen av uavhengige normalfordelte stokastiske variabler er normalfordelt, så man trenger ikke bruke sentralgrenseteoremet.

Forventning og varians for en sum av stokastiske variabler

La [tex]E(X)[/tex] være forventningserdien til en stok.variabel [tex]X[/tex].

Generelt er [tex]E(X+Y)=E(X)+E(Y)[/tex] og [tex] E(aX)=aE(X) [/tex]for en konstant [tex]a[/tex] og uavhengige stokastiske variabler [tex]X[/tex] og [tex]Y[/tex].

La [tex]Var(X)[/tex] være variansen til [tex]X[/tex]. Generelt er [tex]Var(aX+bY)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)[/tex] for uavhengige [tex]X[/tex] og [tex]Y[/tex]. Merk at det er vesentlig at variablene er uavhengige for at man kan bruke disse formlene.