Hei.
Denne oppgaven er et delspørsmål av en større oppgave. Resten av oppgaven har jeg fått til, så skriver ikke ned alt her. Det jeg lurer litt på er følgende:
Gitt funksjonen:
g(z) = ln(r) + i(θ)
Hvor r > 0 og 0 < θ < 2 [symbol:pi]
Denne funksjonen er analytisk innenfor dette definisjonsområdet, med den deriverte lik: g'(z) = 1/z.
Vis at det sammensatte funksjonen
G(z) = g((z^2) + 1) er analytisk innenfor kvadratet x > 0, y > 0, med den deriverte:
G'(z) = 2z/((z^2) + 1)
Hint: Merk at Im((z^2) + 1) > 0 når x > 0, y > 0.
OK. Det er ganske greit å finne den deriverte. Her bruker vi bare kjerneregelen:
G'(z) = g'((z^2) + 1)*2z
G'(z) = 2z/((z^2) + 1)
Videre ser vi av den opprinnelige funksjonen, g(z) at Re(g(z)) er definert i hele intervallet - [symbol:uendelig] < Re(g(z)) < [symbol:uendelig]
Vi har videre at Im(g(z)) er definert i intervallet:
0 < Im(g(z)) < 2 [symbol:pi]
Altså ligger hele definisjonsområdet over den reelle linjen i det komplekse planet. Definisjonsområdet er stripen mellom 0 < Im(g(z)) < 2 [symbol:pi] .
Ser vi så på den sammensatte funksjonen får vi at:
(z^2) + 1 = (x + iy)^2 + 1 = (x^2) + 2ixy - (y^2) + 1
Dette gir at:
Re(G(z)) = (x^2) - (y^2) + 1
Im(G(z)) = 2xy
Ettersom vi av g(z) vet at vi må ha en positiv verdi for Im for å være innenfor samme definisjonsområde følger det at både x og y må være større en 0.
Har jeg forstått dette riktig med dette svaret? Det jeg imidlertid lurer litt på er:
Må ikke det gitte definisjonsområdet for Im(G(z)) også være begrenset slik at 2xy < 2 [symbol:pi] ? Hvis ikke vil jo vi overskride den maksimale verdien for Im(g(z)).
Setter veldig stor pris på om noen kan bekrefte om resonneringen min er korrekt, samt svare på det siste spørsmålet jeg stiller her!
Kompleks sammensatt funksjon
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
g(z) er i prinsippet en multifunksjon, men vi velger oss en hovedgren for å unngå dette problemet. (branch cut fra origo langs den positive delen av den reelle aksen). MEN g(z) er likevel definert for alle komplekse tall utenom den ikkenegative delen av den reelle aksen.
Sett w=[tex]z^2+1[/tex] og [tex]z=x+iy[/tex]. Det du sier er at dersom x>0 og y>0 er Im(w)>0, men vi er vel ikke nødt til å ha at Im(w)>0 for at g(w) skal være definert...
Hvor er oppgaven tatt fra?
Sett w=[tex]z^2+1[/tex] og [tex]z=x+iy[/tex]. Det du sier er at dersom x>0 og y>0 er Im(w)>0, men vi er vel ikke nødt til å ha at Im(w)>0 for at g(w) skal være definert...
Hvor er oppgaven tatt fra?
Takk for svar!
Vet ikke om jeg henger helt med
. Boken har ikke vært innom dette med branch cuts enda. Oppgaven er hentet fra Brown and Churchill sin "Complex Variables and Applications, 8 ed". Oppgaven er fra seksjon 25 "Examples" som følger seksjon 24 "Analytic functions".
Rent konkret er oppgaven som følger:
Use results in Sec. 23 (NB - denne seksjonen handler om å løse Cauchy-Riemann ligninger med polare koordinater) to verify that the function
g(z) = ln(r) + iθ
(r > 0, 0 < θ < 2 [symbol:pi] )
is analytic in the indicated domain of definition, with derivative g'(z) = 1/z. Then show that the composite function G(z) = g((z^2) + 1) is analytic in the quadrant x > 0, y > 0 with derivative
G'(z) = 2z/((z^2) + 1)
Suggestion: Observe that Im((z^2) + 1) > 0 when x > 0, y > 0.
Som sagt så har jeg klart første del - nemlig å vise at den gitte funksjonen er analytisk innenfor det gitte området, samt har derivert 1/z (brukte standard formel for Cauchy-Riemann ligninger i polarkoorindater). Det er andre del jeg er usikker på. Det er ingen eksempler i seksjonen som viser fremgangsmåten. Det nærmeste jeg finner er et sted hvor det står at:
"From the chain rule for the derivative of a composite function, we find that a composition of two analytic functions is analytic. More precisely, suppose that a function f(z) is analytic in a domain D and that the image of D under the transformation w = f(z) is contained the domain of definition of a function g(w). Then the composition g[f(z)] is analytic in D, with derivative
(d/dz)g[f(z)] = g'[f(z)]f'(z)"
Skjønner som sagt ikke helt fremgangsmåten i del 2. Jeg ser jo at (z^2 + 1) er definert i det hele komplekse planet, men slik jeg tolker avsnittet over, må vi så se på området D hvor g er definert, og her får vi jo gitt at r > 0 og 0 < θ < 2 [symbol:pi] . Dette utgjør jo en stripe mellom 0 < Im(g(z)) < 2 [symbol:pi] . Når vi så finner Re og Im i uttrykket (z^2) + 1, slik hintet i oppgaven foreslår, ser vi at både x og y må være størren enn 0 for at den sammensatte funksjonen skal ligge i domenet definert for g.
Slik har i hvert fall jeg tenkt, men det er mulig jeg er på villspor. Er tross alt bare vel to uker siden jeg begynte på kompleks analyse, så det sitter ikke helt enda. Setter derfor veldig stor pris på om du kan vise meg hvordan man foretar en utregning av denne oppgaven.
Vet ikke om jeg henger helt med
. Boken har ikke vært innom dette med branch cuts enda. Oppgaven er hentet fra Brown and Churchill sin "Complex Variables and Applications, 8 ed". Oppgaven er fra seksjon 25 "Examples" som følger seksjon 24 "Analytic functions".Rent konkret er oppgaven som følger:
Use results in Sec. 23 (NB - denne seksjonen handler om å løse Cauchy-Riemann ligninger med polare koordinater) to verify that the function
g(z) = ln(r) + iθ
(r > 0, 0 < θ < 2 [symbol:pi] )
is analytic in the indicated domain of definition, with derivative g'(z) = 1/z. Then show that the composite function G(z) = g((z^2) + 1) is analytic in the quadrant x > 0, y > 0 with derivative
G'(z) = 2z/((z^2) + 1)
Suggestion: Observe that Im((z^2) + 1) > 0 when x > 0, y > 0.
Som sagt så har jeg klart første del - nemlig å vise at den gitte funksjonen er analytisk innenfor det gitte området, samt har derivert 1/z (brukte standard formel for Cauchy-Riemann ligninger i polarkoorindater). Det er andre del jeg er usikker på. Det er ingen eksempler i seksjonen som viser fremgangsmåten. Det nærmeste jeg finner er et sted hvor det står at:
"From the chain rule for the derivative of a composite function, we find that a composition of two analytic functions is analytic. More precisely, suppose that a function f(z) is analytic in a domain D and that the image of D under the transformation w = f(z) is contained the domain of definition of a function g(w). Then the composition g[f(z)] is analytic in D, with derivative
(d/dz)g[f(z)] = g'[f(z)]f'(z)"
Skjønner som sagt ikke helt fremgangsmåten i del 2. Jeg ser jo at (z^2 + 1) er definert i det hele komplekse planet, men slik jeg tolker avsnittet over, må vi så se på området D hvor g er definert, og her får vi jo gitt at r > 0 og 0 < θ < 2 [symbol:pi] . Dette utgjør jo en stripe mellom 0 < Im(g(z)) < 2 [symbol:pi] . Når vi så finner Re og Im i uttrykket (z^2) + 1, slik hintet i oppgaven foreslår, ser vi at både x og y må være størren enn 0 for at den sammensatte funksjonen skal ligge i domenet definert for g.
Slik har i hvert fall jeg tenkt, men det er mulig jeg er på villspor. Er tross alt bare vel to uker siden jeg begynte på kompleks analyse, så det sitter ikke helt enda
. Setter derfor veldig stor pris på om du kan vise meg hvordan man foretar en utregning av denne oppgaven.g(z) er vel analytisk i hele C unntatt på den ikkenegative reelle akse, og f(z)=z^2+1 er vel analytisk i hele C.
Så komposisjonen g(f(z)) burde vel være analytisk for alle z i C slik at f(z) ikke ligger på den ikkenegative reelle aksen...(?)
Hvis dette er riktig tenkt burde vel G(z)=g(f(z)) være analytisk på et større område enn det som er indikert i oppgaven.
Men det som iallfall er klart er at for x>0 og y>0 er f(z) sin imaginærdel positiv, og da er w=f(z) innenfor domenet til g(w), og altså er komposisjonen analytisk i dette området. Det som forvirret meg var vel at man kan finne et større analytisk domene for funksjonen G(z).
Jeg tror kanskje du blander sammen bildet av g og domenet til g. Årsaken til at vi krever at vinkelen er mellom 0 og 2pi er for å unngå at g(z) blir en multifunksjon (siden vinkelen til en kompleks tall ikke er entydig siden vi kan snurre 2pi grader rundt å ankomme til samme sted)
Så komposisjonen g(f(z)) burde vel være analytisk for alle z i C slik at f(z) ikke ligger på den ikkenegative reelle aksen...(?)
Hvis dette er riktig tenkt burde vel G(z)=g(f(z)) være analytisk på et større område enn det som er indikert i oppgaven.
Men det som iallfall er klart er at for x>0 og y>0 er f(z) sin imaginærdel positiv, og da er w=f(z) innenfor domenet til g(w), og altså er komposisjonen analytisk i dette området. Det som forvirret meg var vel at man kan finne et større analytisk domene for funksjonen G(z).
Jeg tror kanskje du blander sammen bildet av g og domenet til g. Årsaken til at vi krever at vinkelen er mellom 0 og 2pi er for å unngå at g(z) blir en multifunksjon (siden vinkelen til en kompleks tall ikke er entydig siden vi kan snurre 2pi grader rundt å ankomme til samme sted)
Takk skal du ha! Jeg tror jeg er med nå . Blandet nok domene og bilde slik som du sier. Men må innrømme at oppgaven var noe knotete og dårlig formulert. Som du sier, så finner jo du at funksjonen er definert ut over det området som oppgaven ber om.
Jeg stusset imidlertid en del på uttrykket til g(z). I tidligere lignende oppgaver har slike uttrykk i polarform alltid vært en eller annen variant av typen:
g(z) = re^(iθ) som jo gir:
Re(g(z)) = r*cos(θ)
Im(g(z)) = r*sin(θ)
Her ser jeg jo klart og tydelig at dersom r > 0 og 0 < θ < 2 [symbol:pi] , så er funksjonen definert i hele C bortsett fra langs den ikkenegative reelle aksen.
. Blandet nok domene og bilde slik som du sier. Men må innrømme at oppgaven var noe knotete og dårlig formulert. Som du sier, så finner jo du at funksjonen er definert ut over det området som oppgaven ber om. Jeg stusset imidlertid en del på uttrykket til g(z). I tidligere lignende oppgaver har slike uttrykk i polarform alltid vært en eller annen variant av typen:
g(z) = re^(iθ) som jo gir:
Re(g(z)) = r*cos(θ)
Im(g(z)) = r*sin(θ)
Her ser jeg jo klart og tydelig at dersom r > 0 og 0 < θ < 2 [symbol:pi] , så er funksjonen definert i hele C bortsett fra langs den ikkenegative reelle aksen.