matematikk.net

Hei.

I følge teoremet for existence og uniqueness for homogene 2. ordens diff.ligninger har vi:

La p(t), q(t) og g(t) være kontinuerlige funksjoner på [a, b]. Da vil differensialligningen:

y'' + p(t)y' + q(t)y = g(t)

y(t[sub]0[/sub]) = y[sub]0[/sub]

y'(t[sub]0[/sub]) = y'[sub]0[/sub]

ha en unik løsning definert for alle t i [a, b].


Det jeg imidlertid lurer litt på er følgende - i de fleste differensialligninger av annen grad vil vi jo faktisk få to løsninger, y[sub]1[/sub] og y[sub]2[/sub]. F.eks. har vi i følgende eksempel:

y'' + y' - 6y = 0

som gir løsningene:

y[sub]1[/sub] = e^(-3t)

y[sub]2[/sub] = e^(2t)

Den generelle løsningen skrives dermed som:

y = c[sub]1[/sub]y[sub]1[/sub] + c[sub]2[/sub]y[sub]2[/sub]

Eller, som i dette tilfellet:

y = c[sub]1[/sub]*e^(-3t) + c[sub]2[/sub]*e^(2t)

Hvorfor er ikke dette en kontradiksjon til teoremet for existence og uniqueness (hvor det spesifikt står at vi skal ha en unik løsning?). Her finner vi jo to løsninger som begge oppfyller differensialligningen.

Setter veldig stor pris på om noen kan forklare dette for meg!!!

Det teoremet sier er at diff.ligningen inkludert initialbetingelsene har en unik løsning. Koeffisientene [tex]c_1[/tex] og [tex]c_2[/tex] er entydig bestemt ut fra disse to initialbetingelsene, altså gir den generelle løsningen (lineærkombinasjonen av de to homogene løsningene) sammen med initialbetingelsene en unik løsning på initialverdiproblemet. Det er dette som menes i teoremet.

(Initialbetingelsene er at [tex]y(t_0)=y_0[/tex] og [tex]y^,(t_0)=y^,_0[/tex])

Ah. Det høres helt logisk ut . Tusen takk! Av og til er det slike enkle sammenhenger som, når de ikke påpekes tydelig i boken, ikke blir så lett å se likevel !

Du er en veldig god ressurs, plutarco! Takk igjen! Enten det dreier seg om multivariabel kalkulus, kompleks analyse eller, som nå, diff.ligninger, så forklarer du alltid ting på en veldig logisk og fin måte! Jobber du tilfeldigvis som forsker eller mattelærer? Du har i hvert fall veldig gode formidlingsevner innenfor faget!