matematikk.net

Hei.

[tex]f(x)= e^{|x|+1}[/tex]

Oppgaven er aa skrive dette i form av Taylors polinom i annen grad (n=2) med utganspunkt i [tex]x_0 = -1[/tex] og med "resten til Langrange" (hva heter det paa norsk?)

Polinomiet til Tayler klarer jeg greit, men jeg vet ikke helt hvordan jeg finner resten til Lagrange. Noen tips?

Altså jeg vet hvordan jeg finner polinomiet til Taylor:

siden [tex] x_0<0, [/tex]

skriver jeg om uttrykket

[tex]f(x)= e^{-x+1} [/tex]

som gjelder for samtlige x<0. Derav følger

[tex]f^\prime(x)= -e^{-x+1} [/tex]
[tex]f^{\prime\prime}(x)= e^{-x+1} [/tex]
[tex]f^{\prime\prime\prime}(x)= -e^{-x+1} [/tex]

og altså

[tex]f(-1)= e^2 [/tex]
[tex]f^{\prime}(-1)= -e^2 [/tex]
[tex]f^{\prime\prime}(-1)= e^2 [/tex]
[tex]f^{\prime\prime\prime}(-1)= -e^2 [/tex]

Polinomiet til Taylor i annen grad er altså

[tex] T(x) = e^2 - (x+1)e^2 + \frac{(x+1)^2 e^2}{2} [/tex]

Så skal resten til Lagrange være

[tex] \frac{f^{\prime\prime\prime}(y)}{3!}(x+1)^3[/tex]

der y er en verdi mellom x og -1. Så det jeg egentlig lurer på; hvordan finner jeg y?