matematikk.net

Prøve i funksjoner og differensiallikninger

tirsdag 25. januar 2011

Oppgave 1

[tex]\qquad[/tex] a) Deriver funksjonen [tex]g(x)=x\cdot\cos(x^2)[/tex]

[tex]\qquad[/tex] b) Bestem integralet [tex]\int{\,x \cdot \cos(x^2)\,dx}[/tex]

[tex]\qquad[/tex] c) Løs likningen [tex]4 sin(x)-3cos(x)=0 \qquad,\qquad x\in[0,2\pi>[/tex]

Oppgave 2

[tex]\qquad[/tex] a) Vis ved integrasjon at

[tex]\qquad[/tex][tex]\qquad[/tex] 1) [tex]\int{\,2x \cdot exp{-x}\,dx}\,=\,-(2x+2)e^{-x}+C[/tex]

[tex]\qquad[/tex][tex]\qquad[/tex] 2) [tex]\int{\,4x^2e^{2x}\,dx\,=\, -(2x^2+2x+1)e^{-2x}+C[/tex]

En funksjon f er gitt ved

[tex]f(x)=2x\cdot e^{-x}[/tex]

[tex]\qquad[/tex] b) Bestem toppunktet og vendepunktet på grafen til f ved regning.

[tex]\qquad[/tex] c) Lag en skisse av grafen til f

[tex]\qquad[/tex] d) Et flatestykke F er avgrenset av x-aksen, grafen til f og linjen [tex]x=1[/tex] Finn arealet av F. Hint se a

[tex]\qquad[/tex] e) Flatestykket F blir rotert [tex]360^0[/tex] om x-aksen. Finn volumet av den gjenstanden vi da får fram. Hint se a)

Oppgave 3

[tex]y^{\tiny\prime}=\frac{y}{8}(6-y)[/tex]

[tex]\qquad[/tex] a) Hva er bæreevnen til populasjonen y?

[tex]\qquad[/tex] b) Bestem den generelle løsningen til differentiallikningen.

[tex]\qquad[/tex] c) Finn løsningskurven gjennom punktet [tex](0,2)[/tex]

Oppgave 4

Et lodd med masse [tex]m=1.2[/tex]kg svinger i en fjær med fjærkonstant [tex]k=5Nm^{-1}[/tex]. Friksjonstallet [tex]q=0.6 Ns m^{-1}[/tex]. Når [tex]t=0[/tex] starter lodder fra ro med [tex]y=0.50[/tex]m.

[tex]\qquad[/tex] a) Sett opp differensiallikningen og finn [tex]y(t)[/tex]

[tex]\qquad[/tex] b) Skisser grafen

[tex]\qquad[/tex] c) Hva slags svinging har vi her?

[tex]\qquad[/tex] d) Hva er svingetiden for denne fjæren? Hint: svingetiden er lik perioden til funksjonen

Oppgave 5

[tex]\qquad[/tex] a) Bestem [tex]s[/tex] og [tex]t[/tex] slik at [tex][3,t,4][/tex] blir parallell med [tex][6,8,s][/tex]

[tex]\qquad[/tex] b) Trekanten [tex]ABC[/tex] er gitt ved [tex]A(1,1,-1) , B(0,0,2)[/tex] og [tex]C(-1,3,3)[/tex] Bestem vinkel [tex]B[/tex].

Fasit

Bare meg som syntes dette var en stor prøve i forhold til vi fikk to timer på den?

oppgave 1) a)

[tex] g\left( x \right) = x \cdot \cos \left( {{x^2}} \right) [/tex]

[tex] g^{\tiny\prime}\left( x \right) = \cos \left( {{x^2}} \right) - 2{x^2}\sin \left( {{x^2}} \right) [/tex]

b) [tex]\int {x \cdot \cos \left( {{x^2}} \right)} dx = \int {x\cos \left( u \right)\frac{{du}}{{2x}}} = \frac{1}{2}\int {\cos \left( u \right)du} = \underline{\underline {\frac{1}{2}\sin \left( {{x^2}} \right) + C}} [/tex]

c)

[tex]4\sin x - 3\cos x + 2 = 0{\rm{ }}{\rm{, x}} \in \left[ {\left. {0,2\pi } \right\rangle } \right. \\ 5\left( {\frac{4}{5}\sin x - \frac{3}{5}\cos x} \right) = - 2 \\ 5\sin \left( {x - {{\cos }^{ - 1}}\left( {\frac{4}{5}} \right)} \right) = - 2 \\ x = \left( {\pi - {{\sin }^{ - 1}}\left( { - \frac{5}{2}} \right)} \right) + 2\pi n + {\cos ^{ - 1}}\left({\frac{4}{5}} \right) \vee x = {\sin ^{ - 1}}\left( { - \frac{5}{2}} \right) + 2\pi n + {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{4}{5}} \right) \\ \underline{\underline {x \approx 0.23{\rm{ }} \vee {\rm{ x}} \approx 4.2}} [/tex]