matematikk.net

OPPGAVE:

Finn uttrykket for alle z-verdiene når:

sin(z) = cos(z)


Her har jeg egentlig fått svaret, men det er noe med fremgangsmåten jeg lurer på.

Gjennom å bruke at:

sin(z) = (e^(iz) - e^(-iz))/2i

cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz))/2

kan jeg redusere sin(z) = cos(z) til:

(e^(iz))*(1 - i) = (e^(-iz))*(1 + i)


Det er her jeg lurer på noe angående videre fremgangsmåte. Dersom jeg deler begge sider av likhetstegnet med (1 - i) får jeg:

e^(iz) = (e^(-iz))*((1 + i)/(1 - i))

Jeg multipliserer så teller og nevner i brøken på høyre side med (1 + i). Dette gir:

e^(iz) = (e^(-iz))*i

Tar så:

log(e^(iz)) = (log((e^(-iz))*i)

som gir:

log(e^(iz)) = log(e^(-iz)) + log(i)

iz + 2n[symbol:pi]*i = -iz + 2n[symbol:pi]*i + ( [symbol:pi]/2 + 2n [symbol:pi] )*i

2iz = ( [symbol:pi]/2 + 2n [symbol:pi] )*i

z = ( [symbol:pi] /4 + n [symbol:pi] )

Dette stemmer med fasiten.

Det jeg lurer på er - hva om jeg i stedet for å dele begge sider med (1 - 1) når jeg har uttrykket (e^(iz))*(1 - i) = (e^(-iz))*(1 + i) heller direkte tar logaritmen av begge sider? Da får jeg:

log(e^(iz)) + log(1 - i) = log(e^(-iz)) + log(1 + 1)

Dette gir:

iz + 2n[symbol:pi]*i + (ln(2)/2) + (-[symbol:pi]/4 + 2n[symbol:pi])*i = -iz + 2n[symbol:pi]*i + ((ln(2)/2) + ([symbol:pi]/4 + 2n[symbol:pi])*i

Når jeg trekker dette sammen ender jeg imidlertid opp med:

z = [symbol:pi] /4

Altså forsvinner +n[symbol:pi] leddet som jeg får i den første fremgangsmåten (og som er riktig i følge fasit). Hva er forklaringen på dette? Kan man ikke løse ligningen slik jeg gjør med denne andre fremgangsmåten?

Setter veldig stor pris på om noen kan forklare dette for meg!

I den nest siste linjen skal det være

[tex]iz + 2n\pi*i + (ln(2)/2) + (-\pi/4 + 2m\pi)*i = -iz + 2k\pi*i + ((ln(2)/2) + (\pi/4 + 2l\pi)*i[/tex] der n,m,k,l er vilkårlige heltall. (feilen er altså at du har latt n=m=k=l, men det er ikke nødvendigvis slik)

Rydder vi opp i dette får vi

[tex]2z+2n\pi+2m\pi=2k\pi+\pi/2+2l\pi[/tex] som blir

[tex]z=\pi/4+(k+l-n-m)\pi[/tex].

Ved å la [tex]k+l-n-m\rightarrow n[/tex] får vi fasiten.


Du har forsåvidt gjort den samme forglemmelsen i den første fremgangsmåten, men der har du tilfeldigvis fått rett svar likevel.

Tusen takk! Dette er jo egentlig veldig logisk ! Nå er jeg med!