matematikk.net

Hei.

Jeg har litt vansker med å forstå den deriverte til komplekse funksjoner rent intuitivt. Jeg klarer fint å løse oppgavene, og kan anvende Cauchy-Riemann osv uten problemer, men jeg sliter med å se for meg hvordan den deriverte til en kompleks funksjon kan "visualiseres". Når man har en reell funksjon er det jo veldig enkelt å se at den deriverte viser endring i vekst/fall til en graf. Men jeg ser ikke helt hvordan dette fungerer med komplekse funksjoner. Jeg hadde derfor satt veldig stor pris på om noen kort kunne forklarte dette for meg!

Ta f.eks. funksjonen w = f(z) = z^2

Her får vi for f(z) at:

u = (x^2) - (y^2)

v = 2xyi

La oss så f.eks. si at vi tar utgangspunkt i z = 2 + i

Da vil jo

w = 3 + 4i

Punktene for z og w kan vi så tegne i to forskjellige Argand-diagrammer (et for z og et for w).

Den deriverte til z^2 er jo videre 2z. Vil dette da si at ved punktet 3 + 4i vil vi så, uansett i hvilken retning vi beveger oss vekk fra 2 + i i z-diagrammet, da få at endringen til f(z) i w-diagrammet blir:

2(2 + i) = 4 + 2i ?

Jeg har som sagt litt vansker med å se for meg hva denne endringen på 4 + 2i representerer rent "visuelt". Vil det si at vi i w-diagrammet beveger oss i vektorretningen gitt ved 4 + 2i?

Jeg ville satt utrolig stor pris på om noen kort kunne forklart dette for meg! Jeg er ikke lenger tilfreds med bare å kunne håndtverket - jeg vil også forstå hva som ligger bakom håndtverket .

For ordens skyld nevner jeg først den formelle definisjonen. La f:C->C være komplekst deriverbar i punktet [tex]z=w[/tex]. (dvs. at CR-ligningene er oppfylt samt at de partiellderiverte eksisterer og er kontinuerlige i punktet).

Da definerer vi [tex]f^,(w)=\lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(w+\Delta z)-f(w)}{\Delta z}[/tex].

At denne grensen eksisterer betyr at uansett i hvilken retning ([tex]\Delta z[/tex]) vi går vekk fra punktet w, vil grensen eksistere (brøken går mot et bestemt komplekst tall når tallverdien av [tex]\Delta z[/tex] går mot 0) og være den samme.

Intuitivt blir tankegangen nøyaktig den samme som i det reelle tilfellet med unntak av at man kan gå i ulike retninger (noe som ikke påvirker den kompleksderiverte der denne eksisterer), samt at den kompleksderiverte på en måte er en slags kompleks versjon av det vanlige stigningstallet.

Om du vil få et mer intuitivt syn på kompleks analyse, kan jeg anbefale den vakre boken "Visual complex analysis" av Tristan Needham.

Han forklarer den deriverte veldig intuitivt.

Tenk deg at hele det komplekse planet er fylt med små kvadrater. Å "bruke" en kompleks (analytisk) funksjon er det samme som å deformere det komplekse planet, og dermed de enkelte småkvadratene.

Fokuser på ett lite kvadrat [tex]K[/tex] i punktet [tex]z_0[/tex]. Da vil dette kvadratet endres til [tex]f^\prime(z_0)K[/tex] under [tex]f[/tex]. Om vi skriver [tex]f^\prime(z_0)[/tex] som [tex]re^{\i \theta}[/tex], betyr dette at det originale kvadratet utvides med en faktor [tex]r[/tex] og roteres med en faktor [tex]\theta[/tex].

Takk så mye for svar!

Jeg kjenner godt til definisjonen, og klarer som sagt godt å løse oppgavene i boken relatert til emnet.

Når du sier at "den kompleksderiverte på en måte er en slags kompleks versjon av det vanlige stigningstallet" så er det imidlertid nettopp dette jeg har litt vansker med å se for meg. Vil det altså si at den kompleksderiverte (som er 2z i mitt eksempel) gir en retningsvektor for hvor w vil bevege seg når vi beveger oss i en hvilken som helst retning vekk fra et punkt z i z-diagrammet?

Takk til deg også, Fredrik.

Jeg har hørt mye bra om Tristan Needham sin bok. Vurderer sterkt å låne den fra realfagsbiblioteket. Som pensumbok bruker vi Brown og Churchill sin "Complex Variables and Applications". Den er egentlig helt grei i å gi en innføring i generelle utregninger, men ofte hopper den over denne litt mer dypere, intuitive forståelsen. Det er akkurat som at forfatterne ofte sier "slik er det bare!".

Jeg er med på forklaringen din, men har dessverre fortsatt ikke helt fått dreisen på det å "tenke" i det komplekse planet - det hender litt for ofte enda at jeg tenker som om jeg jobber med reelle uttrykk. Og jeg må innrømme at jeg enda ikke er helt med på hva det deriverte uttrykket (4 + 2i i mitt tilfelle) egentlig betyr.

Og jeg må innrømme at jeg enda ikke er helt med på hva det deriverte uttrykket (4 + 2i i mitt tilfelle) egentlig betyr.

Vel, definisjonen kom Plutarco med - den er akkurat som i det reelle tilfellet.

Intuisjonen kom jeg med. ;)

Et internettsøk avslørte forresten at deler av Needham-boken finnes som PDF på nett: http://usf.usfca.edu/vca//PDF/amplitwist.pdf

Her forklarer han intuitivt hva derivasjon er komplekst. Anbefaler å lese denne.

Tusen takk for linken! Jeg leste gjennom dette, og nå føler jeg at jeg har en veldig god forståelse for dette . Tror jaggu jeg skal få lånt denne boken som støttelitteratur!