Funksjonsdrøfting, størst eller minst vekst

[Arctagon]

I et laboratorieforsøk er antallet insekter etter x uker gitt ved funksjonen
[tex]f(x)={500 \over 1+10e^{-x}} \qquad , \qquad x \in [0,8][/tex]

a) Vis at [tex]f^\prime(x)={5000e^{-x} \over (1+10e^{-x})^2}[/tex]

b) Finn grafisk den største veksten.

c) Hvor mange insekter er det når veksten er størst?

Oppgave a) er lett nok, problemet ligger i b), og når det problemet er løst, er c) lett nok også.

Slik jeg har forstått det finner en størst vekst (eller minst vekst for den saks skyld) ved å dobbeltderivere originalfunksjonen. Svaret jeg får, plotter jeg inn i GeoGebra og leser av. Problemet er at grafen verken har toppunkter eller bunnpunkter. I fasiten har de også basert svaret på grafen til den deriverte, og ikke den dobbeltderiverte. Dette backer opp svaret jeg fikk da jeg, ved et uhell, trykket inn funksjonsuttrykket til den deriverte i GeoGebra. Det ser med andre ord ikke ut til at det var en skrivefeil i fasiten, men jeg skjønner ikke hvorfor de tar svaret fra den deriverte av funksjonen på en oppgave som spør om størst vekst.

[Vektormannen]

Den dobbeltderiverte skal ikke ha topp-punkter eller bunn-punkter når veksten er størst -- den skal være lik 0 når veksten er størst. Eller misforstår jeg deg nå?

Men siden de ber deg om å derivere i a), så er det nok antagelig lagt opp tilat du skal bruke grafen til den deriverte, og finne ut når denne har topp-punkter.

[Arctagon]

Stemmer det. Hvor jeg fikk det fra at grafen til den dobbeltderiverte har toppunkter eller bunnpunkter, vet jeg ikke. Jeg er vel bare ikke vant til å lese av grafen til den dobbeltderiverte, antar jeg. Tidligere når vi har lest av grafer, har vi som regel sett etter toppunkter og bunnpunkter.

Nettopp. Den logikken er jeg med på, og jeg har tenkt den tanken selv. Det som gjør meg usikker og noe forvirret er det faktum at de spør etter størst vekst, noe som assosieres med den dobbeltderiverte, og da er det ekstra merkelig at de tar svaret fra grafen til den deriverte. Det gjør det ikke mindre merkelig at delkapittelet denne oppgaven ligger under handler om nettopp den dobbeltderiverte.

Hmm... Jeg åpnet boka igjen nå, også så jeg litt på oppgaven. Ettersom den dobbeltderiverte ikke har bunnpunkter eller toppunkter (kan den ha det i det hele tatt?), blir det litt vanskelig å lese av. Men de spør etter størst vekst, og det ligger jo åpenbart ikke på noen stasjonære punkter. Når jeg tenker litt videre, så er det vel slik at grafen til den dobbeltderiverte reflekterer grafen til den deriverte, er det ikke? Og dermed er det faktisk mulig å lese av grafen til den deriverte for å finne størst (eller minst) vekst ved å se på dens toppunkter (eller bunnpunkter når det er snakk om minst vekst)? Isåfall, dette var jeg ikke klar over. Takk!

[Vektormannen]

Det er riktig. Den deriverte er en funksjon som gir deg vekstfarten til funksjonen den er derivert av. Da må topp-punktet til den deriverte gi den største mulige vekstfarten (og bunnpunktet må gi den minste vekstfarten.)

Den dobbeltderiverte gjenspeiler igjen vekstfarten til den deriverte. Når den deriverte har et topp-punkt eller bunn-punkt, har den dobbeltderiverte et nullpunkt. Hvor den dobbeltderiverte har eventuelle topp- og bunnpunkter er ikke interessant, hvertfall ikke i denne oppgaven. De ville i såfall gitt deg den største mulige "akselerasjonen" i den opprinnelige funksjonen f(x).

Så kort sagt: vekstfarten er størst når den deriverte er størst. Det er i topp-punktet til den deriverte. Da har den dobbeltderiverte et nullpunkt.

[Arctagon]

Den dobbeltderiverte gjenspeiler igjen vekstfarten til den deriverte. Når den deriverte har et topp-punkt eller bunn-punkt, har den dobbeltderiverte et nullpunkt. Hvor den dobbeltderiverte har eventuelle topp- og bunnpunkter er ikke interessant, hvertfall ikke i denne oppgaven.

Ja, det var det jeg kom på. Takk.

Tusen takk for hjelpen! Jeg skal notere meg dette.