Generelt har vi at [tex]f(x)=a^{kx} \quad \Rightarrow \quad f^{\prime}(x)=a^{kx} \cdot lna \cdot k[/tex]
Samtidig har boka presentert oss at [tex]f(x)=e^x \quad \Rightarrow \quad f^{\prime}(x)=e^x[/tex]
Vitlysten som jeg er, prøver jeg meg med å sette å løse opp det sistnevnte etter førstnevnte. [tex]f(x)=e^x \quad \Rightarrow \quad f^{\prime}(x)=e^x \cdot lne \cdot 1=e^x \cdot 1 \cdot 1=e^x[/tex]
Det blir jo riktig, så jeg antar at det er derfor den deriverte til e^x er den samme som den originale, men med tanken i bakhodet at det jeg ikke har fått det bekreftet og at det bare kan være en tilfeldighet.
Jeg støttet på et problem med dette, og i dag gjorde jeg det igjen, noe som minnet meg på det. Dersom vi eksempelvis får [tex]-e^{2x}[/tex] blir det problem, for [tex]ln-e[/tex] er ikke mulig, men det kan likevel deriveres, ifølge fasiten.
Kan en dermed avkrefte tanken jeg presenterte i paragraf to? Eller er det slik at fortegnet er enkeltstående (jeg tviler dog på dette)? Blir det da mulig eller umulig å derivere [tex]-4^{2x}[/tex], for der gjelder jo den første regelen jeg presenterte, med sikkerhet?
Litt dypere inn i den deriverte til e i x-te
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Euler
- Posts: 5889
- Joined: 26/09-2007 19:35
- Location: Trondheim
- Contact:
Jeg tror du forveksler [tex]-4^{2x}[/tex] med [tex](-4)^{2x}[/tex]. Sistnevnte er umulig å derivere, fordi, som du sier, du får ln av -4. (Det er heller ikke godt å vite hva [tex](-4)^{2x}[/tex] egentlig skal bety -- uttrykket vil være alt fra positivt, negativt eller udefinert, alt etter hva som gjelder for tallet 2x.) I det førstnevnte uttrykket er det bare 4 som er opphøyd i 2x, med negativt fortegn foran. Da har du en derivasjonsregel som sier at [tex](kf(x))^\prime = k f^\prime(x)[/tex], altså er [tex](-4^{2x})^\prime = -(4^{2x})^\prime = -...[/tex]
Elektronikk @ NTNU | nesizer
-
- Euler
- Posts: 5889
- Joined: 26/09-2007 19:35
- Location: Trondheim
- Contact:
Når det gjelder de to reglene du postet øverst, er det [tex](a^{kx})^\prime = a^{kx} \ln a k[/tex] som utledes fra at [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex], og ikke omvendt. Dette kan du jo prøve å gjøre hvis du syns dette er interessant, det er ikke så veldig vanskelig. Trikset er å uttrykke [tex]a^{kx}[/tex] ved hjelp av [tex]e^x[/tex].
Hvorfor [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex] ligger litt over VGS-nivå å bevise helt riktig, men det finnes flere enklere 'bevis' som viser hvorfor det er slik. Jeg mener å huske at vi hadde et sånt i R1-boken vår.
edit: Hvis du tar utgangspunkt i definisjonen for den deriverte (altså som grenseverdien [tex]f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}[/tex] og bruker følgende definisjon av e: [tex]e = \lim_{x \to \infty} \(1 + \frac{1}{x}\)^x[/tex] så kan du komme deg i mål for å vise dette.
Hvorfor [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex] ligger litt over VGS-nivå å bevise helt riktig, men det finnes flere enklere 'bevis' som viser hvorfor det er slik. Jeg mener å huske at vi hadde et sånt i R1-boken vår.
edit: Hvis du tar utgangspunkt i definisjonen for den deriverte (altså som grenseverdien [tex]f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}[/tex] og bruker følgende definisjon av e: [tex]e = \lim_{x \to \infty} \(1 + \frac{1}{x}\)^x[/tex] så kan du komme deg i mål for å vise dette.
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Ja, jeg tror jeg forveksler, jeg også. Det stemmer, jeg husker at fortegnet er enkeltstående nå.Vektormannen wrote:Jeg tror du forveksler [tex]-4^{2x}[/tex] med [tex](-4)^{2x}[/tex]. Sistnevnte er umulig å derivere, fordi, som du sier, du får ln av -4. (Det er heller ikke godt å vite hva [tex](-4)^{2x}[/tex] egentlig skal bety -- uttrykket vil være alt fra positivt, negativt eller udefinert, alt etter hva som gjelder for tallet 2x.)
Hm, den regelen har jeg ikke vært borti før. Jeg er ikke sikker om jeg henger helt med på den, ettersom det er ganske annerledes fra det jeg har vært borti, men den sier vel bare at det er 4 som står opphøyd i noe, med et negativt fortegn foran?Vektormannen wrote:I det førstnevnte uttrykket er det bare 4 som er opphøyd i 2x, med negativt fortegn foran. Da har du en derivasjonsregel som sier at [tex](kf(x))^\prime = k f^\prime(x)[/tex], altså er [tex](-4^{2x})^\prime = -(4^{2x})^\prime = -...[/tex]
Okei, så det er slik det er. Men jeg hadde vel rett angående at (e^x)' er seg selv, fordi ln til e er 1, samtidig som tallet foran eksponenten er 1?Vektormannen wrote:Når det gjelder de to reglene du postet øverst, er det [tex](a^{kx})^\prime = a^{kx} \ln a k[/tex] som utledes fra at [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex], og ikke omvendt. Dette kan du jo prøve å gjøre hvis du syns dette er interessant, det er ikke så veldig vanskelig. Trikset er å uttrykke [tex]a^{kx}[/tex] ved hjelp av [tex]e^x[/tex].
Stemmer, boken inkluderer faktisk et delkapittel hvor det blir bevist hvorfor [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex] vha definisjonen av den deriverte, samt hvorfor [tex](u(x) \cdot v(x))^\prime = u^\prime(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v^\prime(x)[/tex].Vektormannen wrote:Hvorfor [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex] ligger litt over VGS-nivå å bevise helt riktig, men det finnes flere enklere 'bevis' som viser hvorfor det er slik. Jeg mener å huske at vi hadde et sånt i R1-boken vår.
edit: Hvis du tar utgangspunkt i definisjonen for den deriverte (altså som grenseverdien [tex]f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}[/tex] og bruker følgende definisjon av e: [tex]e = \lim_{x \to \infty} \(1 + \frac{1}{x}\)^x[/tex] så kan du komme deg i mål for å vise dette.
-
- Euler
- Posts: 5889
- Joined: 26/09-2007 19:35
- Location: Trondheim
- Contact:
Jeg tror du har vært borti den regelen før, men sikkert uten å vite at du faktisk brukte den. Det eneste regelen sier er at hvis du har en konstant ganger en funksjon, så kan du la konstanten stå utenfor derivasjonen av funksjonen. Hvis du f.eks. skal derivere [tex]4x^2[/tex] så regner du slik: [tex](4x^2)^\prime = 4 (x^2)^\prime = 4 \cdot 2x = 8x[/tex].Arctagon wrote:Hm, den regelen har jeg ikke vært borti før. Jeg er ikke sikker om jeg henger helt med på den, ettersom det er ganske annerledes fra det jeg har vært borti, men den sier vel bare at det er 4 som står opphøyd i noe, med et negativt fortegn foran?Vektormannen wrote:I det førstnevnte uttrykket er det bare 4 som er opphøyd i 2x, med negativt fortegn foran. Da har du en derivasjonsregel som sier at [tex](kf(x))^\prime = k f^\prime(x)[/tex], altså er [tex](-4^{2x})^\prime = -(4^{2x})^\prime = -...[/tex]
Joda, det er riktig at det blir en slags forklaring, men det er ikke derfor [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex] -- altså, du kan ikke bevise at [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex] ved å ta utgangspunkt i at [tex](a^{kx})^\prime = a^{kx} \cdot \ln a k[/tex]. Men det er helt riktig som du sier at siden ln e = 1, så vil denne regelen også stemme for [tex]e^x[/tex], og gi at [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex].Arctagon wrote:Okei, så det er slik det er. Men jeg hadde vel rett angående at (e^x)' er seg selv, fordi ln til e er 1, samtidig som tallet foran eksponenten er 1?Vektormannen wrote:Når det gjelder de to reglene du postet øverst, er det [tex](a^{kx})^\prime = a^{kx} \ln a k[/tex] som utledes fra at [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex], og ikke omvendt. Dette kan du jo prøve å gjøre hvis du syns dette er interessant, det er ikke så veldig vanskelig. Trikset er å uttrykke [tex]a^{kx}[/tex] ved hjelp av [tex]e^x[/tex].
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Aha, det kan være nyttig å vite. Takk, skal notere meg dette.Vektormannen wrote:Jeg tror du har vært borti den regelen før, men sikkert uten å vite at du faktisk brukte den. Det eneste regelen sier er at hvis du har en konstant ganger en funksjon, så kan du la konstanten stå utenfor derivasjonen av funksjonen. Hvis du f.eks. skal derivere [tex]4x^2[/tex] så regner du slik: [tex](4x^2)^\prime = 4 (x^2)^\prime = 4 \cdot 2x = 8x[/tex].
Det var det jeg prøvde å få fram, ja. Jeg mente ikke å si at en kan bevise at [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex] ved å ta utgangspunkt i [tex](a^{kx})^\prime = a^{kx} \cdot \ln a k[/tex], bare at det blir som en slags forklaring, som du selv sier. Takker for bekreftelsen.Vektormannen wrote:Joda, det er riktig at det blir en slags forklaring, men det er ikke derfor [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex] -- altså, du kan ikke bevise at [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex] ved å ta utgangspunkt i at [tex](a^{kx})^\prime = a^{kx} \cdot \ln a k[/tex]. Men det er helt riktig som du sier at siden ln e = 1, så vil denne regelen også stemme for [tex]e^x[/tex], og gi at [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex].