matematikk.net

Hei. Denne oppgaven har ikke fasit, men jeg tror jeg har forstått det meste. Den lyder:

Let a sequence [tex]z_n (n=1,2,...)[/tex] converge to a number [tex]z[/tex]. Show that there exists a positive number [tex]M[/tex] such that the inequality [tex]|z_n| \leq M[/tex] holds for all [tex]n[/tex]. Do this in each of the following ways.

a) Note that there is a positive integer [tex]n_0[/tex] such that:

[tex]|z_n|=|z+(z_n -z)|<|z|+1[/tex] whenever [tex]n>n_0[/tex].

b) Write [tex]z_n=x_n +iy_n[/tex] and recall from the theory of sequences of real numbers that the convergence of [tex]x_n[/tex] and [tex]y_n (n=1,2,...)[/tex] implies that [tex]|x_n| \leq M_1[/tex] and [tex]|y_n| \leq M_2 (n=1,2,...)[/tex] for some positive numbers [tex]M_1[/tex] and [tex]M_2[/tex]

OK. Mitt løsningsforslag:

a) Dersom en sekvens konvergerer har vi at det, for hvert positive tall [tex]\epsilon[/tex] eksisterer et positivt tall [tex]n_0[/tex] slik at:

[tex]|z_n - z|<\epsilon[/tex] når [tex]n>n_0[/tex]

Vi setter så [tex]\epsilon<1[/tex]. Vi får da at:

[tex]|z_n|=|z+(z_n -z)| \leq |z|+|z_n -z|<|z|+\epsilon=|z|+1[/tex] såfremt [tex]n>n_0[/tex].

Dermed har vi bevist a).

Går så videre på b):

Vi har at [tex]z_n =x_n +iy_n[/tex]. Dette gir:

[tex]|z_n|=|x_n +iy_n| \leq |x_n|+|y_n| \leq M_1+M_2[/tex]

Med dette har bevist at [tex]|z_n| \leq M[/tex] hvor [tex]M=M_1 +M_2[/tex]

Setter veldig stor pris på om noen kan bekrefte/avkrefte om min fremgangsmåte her er korrekt!

Dette ser helt riktig ut! Bare en liten skrivefeil, du mener vel "vi setter så [tex]\epsilon = 1[/tex]".

Ja, mente selvsagt at epsilon = 1 .

Flott å høre at jeg har forstått dette! Blir litt stolt av at jeg begynner å få kontroll på bevisføring .

Jeg legger merke til nå at du har glemt en liten ting. Du viser at |z_n|<M når n > n_0. Men oppgaven var å vise at det gjelder for alle n. Kan du finne en konstant som tar hensyn til dette også?

Charlatan wrote:Jeg legger merke til nå at du har glemt en liten ting. Du viser at |z_n|<M når n > n_0. Men oppgaven var å vise at det gjelder for alle n. Kan du finne en konstant som tar hensyn til dette også?

Hm, nå ble jeg litt usikker. Det er jo gitt i a) at n > n[sub]0[/sub]. Så er ikke helt sikker på hvordan jeg skal ta hensyn til alle n. Setter pris på litt hjelp

Hint: Det er bare endelig mange elementer i følgen med [tex]n < n_0[/tex].

krje1980 wrote:

Charlatan wrote:Jeg legger merke til nå at du har glemt en liten ting. Du viser at |z_n|<M når n > n_0. Men oppgaven var å vise at det gjelder for alle n. Kan du finne en konstant som tar hensyn til dette også?

Hm, nå ble jeg litt usikker. Det er jo gitt i a) at n > n[sub]0[/sub]. Så er ikke helt sikker på hvordan jeg skal ta hensyn til alle n. Setter pris på litt hjelp

Slik jeg ser det ber oppgaven deg bruke det man viser i a) og b) henholdsvis til å bevise påstanden. Man skal altså finne en konstant M' som er slik at |z_n| <= M' for alle n når man vet fra a) at det finnes en n_0 slik at |z_n|<=M når n>n_0. Som Fredrik nevner kan det være lurt å merke seg at M' kun trenger å ta hensyn til et endelig antall ledd i følgen, så du skjønner kanskje med litt ettertanke hvordan det er lurt å definere M'.

Merk også at a) og b) gir forskjellige måter å bevise påstanden på.

Hm.

Er det mulig at jeg kan f.eks. si at [tex]|x_0| \leq M_0[/tex] og [tex]|y_0| \leq N_0[/tex]?

Da har vi en konstant som begrenser [tex]n[/tex] dersom [tex]n \leq n_0[/tex]

Eller er jeg på villspor nå?

Så har jeg tenkt rett?

Forstod ikke helt den forrige posten din.

Meningen er å finne en konstant som fungerer for alle n. Du har allerede funnet en konstant som fungerer for alle [tex]n \geq n_0[/tex]. Men det kan hende en av [tex]z_i[/tex] for [tex]i < n_0[/tex] var større enn alle de andre.

Vel, da må jeg innrømme at jeg ikke helt ser hvordan jeg skal sette dette opp. Setter veldig stor pris på om noen viser det

Okei. Du har vist at det finnes en [tex]M[/tex] slik at [tex]|z_n| \leq M[/tex] for alle [tex]n > n_0[/tex]. "Problemet" er at det kan være at f.eks [tex]z_1[/tex] er kjempestor - mye større enn M.

Men siden vi bare har [tex]n_0[/tex] potensielle skurker, har disse en største skurk blant seg. Da kan vi velge [tex]M^\prime=\max\{z_0,z_1,\ldots,z_{n_0},M\}[/tex]. Vår nye [tex]M^\prime[/tex] er da større enn *alle* verdier i følgen.

Å ja!! Det var faktisk i disse banene jeg tenkte i mitt forrige innlegg (finne en makskonstant for alle n < n[sub]0[/sub]), men jeg formulerte det litt klønete. Nå når jeg ser beviset ditt husker jeg det imidlertid igjen fra da jeg hadde sekvesner i kalkulus for 1 år siden. Tusen takk skal du ha .