matematikk.net

Hvordan viser vi at e^x ikke er uniformt kontinuerlig på (0, uendelig ) ved hjelp av den formelle definisjonen?

At en funksjon er uniformt kontinuerlig vil si at for enhver epsilon finnes en delta slik at endringen i funksjonsverdiene er mindre enn epislon hvis endringen i argumentene er mindre enn delta. Om en funksjon ikke er kontinuerlig vil dette altså si at vi kan finne en epislon slik at samme hvor liten delta er kan vi finne to x, y slik at [tex]|x-y|<\delta[/tex], men [tex]|f(x)-f(y)|\geq \epsilon[/tex]. Litt uformelt betyr dette at funksjonen 'kan bli vilkårlig bratt'. Her viser det seg at det ikke finnes noen passende delta hvis [tex]\epsilon=1[/tex]. Klarer du å vise dette?

Ok. Er litt usikker på framgansmåten for beviset. Kan du gi noen tips? Synes det er vanskelig å få tak på slike bevis.

Kan man bruke Satsen som sier at f(x) er ikke Uniformt kontinuerlig dersom l f(x+h) - f(x) l er ubegrenset på I (=(0,uendelig)), for h>0. ? Slik jeg ser det vil vi da få:

l e^(x+h) - e^x l = l e^x (e^h - 1) l -> uendelig når x-> uendelig => f(x) er uniformt kontinuerlig på I=(0,uendelig).