matematikk.net

Oppgaven er:

Bestem [tex]\int \limits_{0}^{\frac 12} \frac {1}{\sqrt{1-x^2}} dx[/tex] ved å substituere x=cos t.

Dette prøvde jeg:

[tex]\frac{dx}{dt}[/tex]=- sin t dvs. dx=-sin t dt. Da blir:

[tex]\int \limits_{0}^{\frac 12} \frac {1}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int \limits_{0}^{\frac {\pi}{3}} (\frac 1{\sqrt{1-cos^2 t}}*- sin t dt)= \int \limits_{0}^{\frac {\pi}{3}} (\frac 1{\sqrt{sin^2 t}}*- sin t dt)=\int \limits_{0}^{\frac {\pi}{3}} (\frac 1{sin t}*- sin t dt)=\int \limits_{0}^{\frac {\pi}{3}} (-1 dt)=-\frac {\pi}3 + 0 [/tex]

Men svaret skulle egentlig blitt [tex]\frac {\pi}6[/tex]. Hva er det jeg gjør feil?

Du glemmer å bytte nedre grense. Ellers ser det bra ut så langt jeg kan se!

nedre grense blir [symbol:pi]/2

Jeg skjønner, fordi [tex]cos(\frac{\pi}{2})=0[/tex]. (Visste når jeg begynte på oppg. at jeg skulle bytte begge, men så ble jeg for opptatt av selve integreringen så jeg glemte å bytte den nedre grensen, og da så jeg det ikke selv etterpå)

Da blir det til slutt:

[tex]-\frac{\pi}3-(-\frac{\pi}2)=\frac{\pi}6[/tex]

[tex]\frac{6000\pi}6[/tex] Takk for hjelpen !

Husk at når man substituerer funksjoner som ikke er monotone i intervallet du integrerer over kan det bli trøbbel med ren innsetting. F.eks vil både [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] og [tex]\frac{-\pi}{2}[/tex] virke gyldige kandidater for nedre grense. Jeg foretrekker selv å beregne det ubestemte integralet først i slike tilfeller, og deretter sette inn de grensene man kjenner.

I dette tilfellet er det slik at man kan betrakte -arccos t som monoton på [0,1/2] fra t = [symbol:pi]/2 til [symbol:pi]/3 (hvis man betrakter -arccos t som en funksjon fra [-1,1] til [0, [symbol:pi]]) men hadde du integrert over et større intervall kunne du ha fått problemer.