Komplekst uttrykk
Posted: 27/02-2011 15:27
Hei.
Gitt følgende komplekse uttrykk:
[tex]f(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(e^{i\phi})e^{in\phi} \, \mathrm{d}\phi \frac{1}{z^{n}}[/tex]
Fasiten til en oppgave jeg holder på med skriver dette videre som følger:
[tex]\frac{1}{2\pi}\sum_{n=1}^\infty \int_{-\pi}^\pi f(e^{i\phi}) \left [(\frac{z}{e^{i\phi}})^{n} + (\frac{e^{i\phi}}{z})^{n}\right] \, \mathrm{d}\phi[/tex]
Jeg ser ikke helt hvordan dette stemmer. Vi har jo at [tex]z=e^{i\phi}[/tex]
Burde ikke dermed
[tex]\int_{-\pi}^\pi f(e^{i\phi})e^{in\phi} \, \mathrm{d}\phi \frac{1}{z^{n}}[/tex]
Bli:
[tex]\int_{-\pi}^\pi f(e^{i\phi}) \, \mathrm{d}\phi[/tex]
Slik at endelig svar blir:
[tex] \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(e^{i\phi}) \, \mathrm{d}\phi[/tex]
Setter stor pris på om noen kan forklare dette!
Gitt følgende komplekse uttrykk:
[tex]f(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(e^{i\phi})e^{in\phi} \, \mathrm{d}\phi \frac{1}{z^{n}}[/tex]
Fasiten til en oppgave jeg holder på med skriver dette videre som følger:
[tex]\frac{1}{2\pi}\sum_{n=1}^\infty \int_{-\pi}^\pi f(e^{i\phi}) \left [(\frac{z}{e^{i\phi}})^{n} + (\frac{e^{i\phi}}{z})^{n}\right] \, \mathrm{d}\phi[/tex]
Jeg ser ikke helt hvordan dette stemmer. Vi har jo at [tex]z=e^{i\phi}[/tex]
Burde ikke dermed
[tex]\int_{-\pi}^\pi f(e^{i\phi})e^{in\phi} \, \mathrm{d}\phi \frac{1}{z^{n}}[/tex]
Bli:
[tex]\int_{-\pi}^\pi f(e^{i\phi}) \, \mathrm{d}\phi[/tex]
Slik at endelig svar blir:
[tex] \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(e^{i\phi}) \, \mathrm{d}\phi[/tex]
Setter stor pris på om noen kan forklare dette!