matematikk.net

(Dette var opprinnelig formulert med komplekse tall, men hvis beviset mitt under holder, vil vi like godt ha kunnet bruke reelle eller rasjonale tall.)

La [tex]V\subset \mathbb{C}^{\infty}=\mathbb{C}\otimes \mathbb{C}\otimes \mathbb{C}\otimes...[/tex] være vektorrommet med alle uendelige komplekse kvadratisk summerbare tallfølger [tex]f(n)\,,\,n\in \mathbb{N}[/tex].

Påstanden er at da vil ikke [tex]V[/tex] ha et tellbart antall basisvektorer.

Hvordan går man fram for å bevise dette? Det virker intuitivt at rommet vil ha en tellbar basis på formen [tex](1,0,0,...)\,,\,(0,1,0,0,...)\,,\,...[/tex].

Indreproduktet [tex]\< f,g\>=\sum_{n=1}^{\infty}f(n)\bar{g(n)}[/tex] er veldefinert på [tex]V[/tex], så for å vise at rommet ikke har en tellbar basis må vi vise at for enhver følge av vektorer [tex]f_n[/tex] finnes det en ikkenull vektor [tex]g[/tex] slik at [tex]\< f_n,g\>=0[/tex]. Argumentet er her at hvis rommet har en tellbar basis, vil [tex]f_n=(1,1,1,...)[/tex] ha ikkenulle komponenter i alle retninger, men hvis basisen ikke er tellbar, vil vi alltid kunne finne en ny dimensjon som [tex]f_n[/tex] ikke har en ikkenull komponent i.

Spørsmålet er dog, hvodan gjør vi dette? Er løsningen så triviell som å definere [tex]g=(0\cdot f_n|1,\frac12,\frac14,...)[/tex] ([tex]g[/tex] inneholder alle komponentene til [tex]f_n[/tex] multiplisert med 0, fulgt av en kvadratisk summerbar følge? I dette tilfellet vil påstanden også holde for [tex]V\subset \mathbb{R}^{\infty}[/tex] og [tex]V=\mathbb{Q}^{\infty}[/tex].

espen180 wrote: La [tex]V\subset \mathbb{C}^{\infty}=\mathbb{C}\otimes \mathbb{C}\otimes \mathbb{C}\otimes...[/tex] være vektorrommet med alle uendelige komplekse kvadratisk summerbare tallfølger [tex]f(n)\,,\,n\in \mathbb{N}[/tex].

Bare et par små kommentarer, [tex]\otimes[/tex] er vanligvis brukt som tensorprodukt-notasjon, men jeg antar du mener det tellbare kartesiske produktet? Jeg antar også at du mener de komplekse kvadratiske absolutt konvergente tallfølgene. F.eks er [tex]f(n) = i^n/\sqrt{n}[/tex] kvadratisk summerbar, men f(n)^2 er ikke absolutt konvergent.

espen180 wrote: Påstanden er at da vil ikke [tex]V[/tex] ha et tellbart antall basisvektorer.

Hvordan går man fram for å bevise dette? Det virker intuitivt at rommet vil ha en tellbar basis på formen [tex](1,0,0,...)\,,\,(0,1,0,0,...)\,,\,...[/tex].

Her blir vektoren (1,1/2,1/3,...) umulig å uttrykke som en endelig lineærkombinasjon.

Et argument som du foreslår kan jo ikke gjelde for underrommet av Q[sup][symbol:uendelig][/sup], i og med at dette rommet er tellbart.

Betrakt vektorrommene [tex]V_n = \text{span}(f_1,...,f_n)[/tex].
La h_1 = f_1. Da er V_1 utspent av h_1. Definer h_n rekursivt som følger: anta at [tex]h_1,...,h_{n-1}[/tex] er en ortonormal basis for [tex]V_{n-1}[/tex]. Ved gram-schmidt prosessen utvider vi [tex]h_1,...,h_{n-1}[/tex] til en ortonormal basis [tex]h_1,...,h_n[/tex] for V_n ved å ortogonalisere [tex]h_1,...,h_{n-1},f_{n}[/tex].

Da er [tex]V_n = \text{span}(h_1,...,h_n)[/tex] for alle n, og [tex]<h_m,h_k> = 0[/tex] når [tex]m \not = k[/tex]. [tex]h_1,h_2,...[/tex] er altså en basis for hele vektorrommet vårt. Definer nå [tex]g = h_1+h_2+...[/tex]

Da er [tex]<g,h_n> = <\sum h_k,h_n> = \sum <h_k,h_n>=<h_n,h_n> \not = 0[/tex] for alle n (dette trinnet avhenger av at vi kan bytte rekkefølgen på summetegnene over uendelige summer, som bygger på at det er snakk om absolutt konvergente følger. Dette bør verifiseres på egenhånd.). Men [tex]g = \sum^m c_k h_k[/tex] for en m, så [tex]<g,h_{m+1}> = <\sum^m c_k h_k,h_{m+1}> =\sum^m c_k <h_k,h_{m+1}> =0[/tex], og dette er vår motsigelse.

Det avgjørende trinnet i dette var å kunne bytte om på summetegnene, noe som avhenger sterkt av kompletthetsegenskapene til de komplekse tallene. Samme utregninger gjelder da også for underrommet av reelle følger.

Ok, det er tydeligvis ikke fullt så enkelt. Vi må bruke cauchy-schwarz og fubinis teorem for summer for å vise at vi kan bytte om på summetegn. Se f.eks Körners bok i reell analyse (hvis du har den) side 87.

Vi skriver i stedet [tex]H_n = \frac{h_n}{n^2\sqrt{<h_n,h_n>}}[/tex]. Grunnen til at vi gjør dette er at vi trenger at vår basis skal ha små nok absoluttverdier for at vi skal få absolutt konvergens (av summene nedenfor) for å kunne bytte om på rekkefølgen av summetegnene. H_n er fremdeles en ortogonal basis, og vi skriver i stedet [tex]g = H_1+H_2+...[/tex] (noe jeg ikke tok hensyn til i stad: nå vet vi at H_1 + H_2 +... konvergerer)

Vi skriver [tex]H_m = (H_{m1},H_{m2},...)[/tex]

[tex]<g,H_n> = <\sum_{k=1}^{\infty} H_k,H_n> = \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} H_{ki}\bar{H_{ni}}[/tex].

Vi bruker fubinis teorem for summer som sier at summen over eksisterer og at vi kan bytte om rekkefølgen på summetegnene dersom vi kan vise at [tex]\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{\infty} |H_{ki}\bar{H_{ni}}|[/tex] konvergerer. Av cauchy-schwarz har vi at

[tex]\sum_{i=1}^{\infty} |H_{ki}\bar{H_{ni}}| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} |H_{ki}|^2 \sum_{i=1}^{\infty}|\bar{H_{ni}}|^2} = \sqrt{<H_k,H_k><H_n,H_n>} = \frac{1}{k^2n^2}[/tex]

så [tex]\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{\infty} |H_{ki}\bar{H_{ni}}| \leq \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2n^2}[/tex] som konvergerer.

Nå er det bare å følge beviset i forrige post ved å bytte ut h_n med H_n.

Mulig dette kan gjøres enklere, men tror det skal være riktig i alle fall.

Charlatan wrote:Definer nå [tex]g = h_1+h_2+...[/tex]

Da er [tex]<g,h_n> = <\sum h_k,h_n> = \sum <h_k,h_n>=<h_n,h_n> \not = 0[/tex] for alle n (dette trinnet avhenger av at vi kan bytte rekkefølgen på summetegnene over uendelige summer, som bygger på at det er snakk om absolutt konvergente følger. Dette bør verifiseres på egenhånd.). Men [tex]g = \sum^m c_k h_k[/tex] for en m, så [tex]<g,h_{m+1}> = <\sum^m c_k h_k,h_{m+1}> =\sum^m c_k <h_k,h_{m+1}> =0[/tex], og dette er vår motsigelse.

Er det jeg som tuller, eller bruker du to forskjellige [tex]g[/tex]-er her? I det første avsnittet går [tex]k[/tex] fra 1 til [tex]n[/tex], men i det neste går [tex]k[/tex] fra 1 til [tex]m[/tex], og du introduserer [tex]h_{m+1[/tex], så jeg antar at [tex]m<n[/tex]. Har du ganske enkelt utvidet mengden av [tex]h[/tex]-er?

Bruker bare èn g, men den første summen er uendelig, den går ikke til n. Jeg definerte [tex]g = h_1 + h_2 + ... = \sum^{\infty}_{i=1} h_i[/tex]. Men som jeg nevnte i annen post vet vi ikke om dette konvergerer. Ved å definere H_n som jeg gjorde etterpå blir altså [tex]g = H_1 + H_2 + ...[/tex] som konvergerer.

Deretter viser man at for enhver n vil [tex]<g,H_n>[/tex] ikke være lik 0. Dette gjorde jeg for kjapt i første post, men viser hvordan man kan gjøre i andre. Siden [tex]H_i[/tex] er en basis, vil også [tex]g = c_1H_1 + ... +c_mH_m[/tex] for en eller annen m, så [tex]<g,H_{m+1}> = 0[/tex] siden H_i'ene er ortogonale per konstruksjon.