matematikk.net

Vi har en matrise P som består av ortonormale egenvektorer

[tex]v_1[/tex] og [tex]v_2[/tex]

Vi vet at den symmetriske matrisen A er ortogonalt diagonaliserbar og da er

[tex]P^TAP=D[/tex]

Etterpå skriver de at vi kan bytte om egenvektorne [tex]v_1[/tex] og [tex]v_2[/tex] for å forsikre oss om at det P=1

Hva sier det oss at det P=1?

Her er teksten (det jeg beskrev står nederst på side 358)


http://bildr.no/view/834532

(uklar tekst:

to eliminate a given cross-


the cross-product term (if

symmetric matrix A is

orthonormal eigenvectors

that det P=1

of a rotation of

eigenvectors [tex]v_1[/tex] and [tex]v_2[/tex]

and the new x'y'-

del 2:

http://bildr.no/view/834537

det P=1 gjentas her og på slutten av theorem 1

jeg tror det har med å gjøre at en rotasjon er gitt ved cos og sin og vi får en matrise som ligner på dette:

[tex]\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}[/tex]
determinanten til den blir jo en. Vil gjerne at noen kommenterer.

jeg mangler litt helhetelig forståelse men tidligere står det i teksten at man skal rotereen kjegledel for å fjerne xy-delen fra

[tex][x y]\begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}[/tex]

som man kan skrive som:

[tex][x y] \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}[/tex]=
[tex]x^TAx[/tex]

(fortsetter i neste innlegg hadde litt problemer med å få med alt i en melding teksten hoppet opp og ned med sliden til høyre når jeg skrev den)

når man har skrevet om x ogy-koordinatene ved matrisen P får man:


[tex]\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=P \begin{bmatrix} x* \\ y* \end{bmatrix}[/tex]


og da kan man skrive om den roterte versjonen før man eliminerte kryssproduktet slik:


[tex]q(x*)=x^TAx=(Px*)^TA(Px*)=x*^T(P^TAP)x*=[ x*y*] \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x* \\ y* \end{bmatrix}=\lambda_1(x*)^2+\lambda_2(y*)^2[/tex]

man roterer med en cos og sin matrise P og den er en på grunn av identiteten:

[tex]cos^2\theta+sin^2\theta=1[/tex]

som blir det til en 2 ganger 2 matrise på formen skrevet øverst i eksemplet. Stemmer det?