matematikk.net

Hei.

Jeg står litt fast på følgende oppgave:

Prove that if:

[tex]f(z) = \frac{cos z}{(z^2) - (\pi/2)^2}[/tex] when z [symbol:ikke_lik] [symbol:plussminus] [symbol:pi] /2

and

[tex]f(z) = - \frac{1}{\pi}[/tex] when z = [symbol:plussminus] [symbol:pi] /2

then [tex]f[/tex] is an entire function.


OK. I og med at denne oppgaven ligger i kapitlet om Laurent rekker regner jeg med at jeg skal skrive f(z) som en rekke og vise at når z går mot [tex] \frac{\pi}{2}[/tex] så vil f(z) gå mot [tex] - \frac{1}{\pi}[/tex]. Men ser ikke helt hvordan jeg skal få til et velegnet uttrykk for rekken. Jeg har altså:

[tex] \frac{1}{(z^2) - (\pi/2)^2}\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n!)}[/tex]

Hvordan kan jeg gå videre herfra? Jeg vet godt hvordan jeg kunne gjort dette videre, hadde det ikke vært for [tex](\frac{\pi}{2})^2[/tex] uttrykket i nevneren her.

Setter stor pris på tips/hjelp!

Har du prøvd med å bruke [tex]\frac{1}{z^2-\left(\pi/2\right)^2}=\frac{1}{(z-\pi/2)(z+\pi/2)}[/tex]

og sjekke for de to mulighetene du får, dvs se hva slags rekker du får for

[tex]\frac{1}{z-\pi/2}[/tex] og [tex]\frac{1}{z+\pi/2}[/tex]?

Hei.

Jeg har prøvd dette, ja. Har så brukt delbrøksoppspalting for å skrive dette som to uttrykk. Får da:

[tex] \frac {- \frac{1}{\pi}}{z + \frac{\pi}{2}} + \frac { \frac {1}{\pi}}{z - \frac {\pi}{2}}[/tex]

Men når jeg så skriver rekkene for disse to, og multipliserer disse med rekken for cos z, så får jeg fremdeles ikke samme svar.

Men du rekkeutvikler om riktig singularitet også, så du får riktig argument i Taylorrekken for [tex]\cos(z)[/tex]?

F.eks [tex]\cos\left((z-\pi/2)+\pi/2\right) = -\sin(z-\pi/2)[/tex]

også rekkeutvikler du om [tex]z_0 = \pi/2[/tex].

Må også si at det kan være at jeg husker helt feil hvordan dette med Laurentrekker er (så det er sagt).

Takk skal du ha! Jeg har putlet litt mer med oppgaven, men har funnet ut at regnestykket nok blir såpass komplekst at jeg ikke orker mer . Tror imidlertid at jeg i hvert fall er med på fremgangsmåten.

Hva med å rekkeutvikle cos(z) om punktet z=pi/2. Da får du en sum av potenser av (z-pi/2). skriv (z^2-(pi/2)^2)=(z-pi/2)(z+pi/2)). Da kansellerer z-pi/2 mot leddene i rekkeutviklingen til cos, og man står igjen med en potensrekke multiplisert med en faktor 1/(z+pi/2). Så kan man bruke taylorrekka til 1/((z-pi/2)+pi/2) om z=pi/2.

Vi får da representert funksjonen ved en potensrekke om den ene singulariteten, som er konvergent i en omegn om punktet, og f er da deriverbar i dette området. Man kan gjøre tilsvarende for den andre singulariteten.

plutarco wrote:Hva med å rekkeutvikle cos(z) om punktet z=pi/2. Da får du en sum av potenser av (z-pi/2). skriv (z^2-(pi/2)^2)=(z-pi/2)(z+pi/2)). Da kansellerer z-pi/2 mot leddene i rekkeutviklingen til cos, og man står igjen med en potensrekke multiplisert med en faktor 1/(z+pi/2). Så kan man bruke taylorrekka til 1/((z-pi/2)+pi/2) om z=pi/2.

Vi får da representert funksjonen ved en potensrekke om den ene singulariteten, som er konvergent i en omegn om punktet, og f er da deriverbar i dette området. Man kan gjøre tilsvarende for den andre singulariteten.

Tusen takk, plutarco! Nå fikk jeg oppgaven til å gå opp