matematikk.net

Jeg sliter litt med å kunne bevise disse to:

1.

Hvis x er et oddetall, så er x^2-1 alltid delelig med 8

2.

a) Bruk kontrapositivt bevis til å vise at hvis n^2-1 ikke er delbar med 3, så er n delbar med 3.

b) Bevis at kvadratroten til 2 er et irrasjonalt tall. Bruk indirekte bevis. Start med å anta at kvadratroten til 2 er et rasjonalt tall som kan skrives som en brøk t/n, der t og n er naturlige tall som ikke har noen felles faktor.

florida wrote:Jeg sliter litt med å kunne bevise disse to:
1. Hvis x er et oddetall, så er x^2-1 alltid delelig med 8

[tex](x+1)(x-1)\equiv 0\,(\text mod\,8)[/tex]

vet ikke helt om det holder, men den er oppfylt for oddetall...

Kongruensregning er ikke pensum på VGS med mindre man tar Matematikk X. Dette ser ut som typiske oppgaver fra R1.

På 1. kan du som Janhaa har gjort, faktorisere. Deretter kan du bruke det at x skal være et oddetall. Da kan du f.eks. skrive x som [tex]x = 2k+1[/tex] (der k er et valgfritt heltall.) Hvilket uttrykk får du når du gjør dette?

2a) Du skal bruke et kontrapositivt bevis. Det vil si at i stedet for å prøve å vise at premissen (at [tex]n^2 - 1[/tex] ikke er delbar med 3) medfører konklusjonen (n er delbar med 3), så viser du at hvis konklusjonen ikke er sann, så er heller ikke premissen sann. Det vil si, du må vise at hvis n ikke er delelig med 3, så er [tex]n^2 - 1[/tex] delelig med 3. Er du med på dette?

b) Har du prøvd på noe her?

Vel er vel r2 matte det er snakk om, så de vil vel ha litt mer sånne enkle betraktninger.

Alle oddetall kan skrives på formen 2k+1, så vi kan sette x = 2k+1 for et eller annet heltall k.

Så x^2 - 1 = (2k+1)^2 - 1 = (4k^2 + 4k + 1) -1 = 4k^2 + 4k = 4(k^2+k) = 4k(k+1)

her ser vi at enten må k eller så må k+1 være delelig med 2 (Siden k og k+1 er to tall som kommer etter hverandre).

Vi kan derfor sette k(k+1) = 2m for et eller annet heltall m.

Så x^2 - 1 = 4k(k+1) = 4*2m = 8m og dermed er x^2 - 1 delelig med 8 for alle oddetall x.

Ja, det ser logisk ut Fibonacci92. Det er noe lignende jeg har gjort.
Tallene k+1 og k kommer etter hverandre på tallinjen, derfor må en av de ha faktor to i seg. 4k(k+1) har dermed både faktor 2 og 4 i seg, som går opp i 8.

2.
kontrapositiv påstand: n ikke delbar med 3 --> n^2 - 1 delbar med 3

(n-1)n(n+3) er produktet av tre tall etter hverandre på tall-linjen, og
et av dem må da være delelig med 3.
Hvis n ikke er delbar med 3, må enten (n-1) eller (n+1) være delelig med 3,
og derfor er også produktet (n-1)n(n+1) = n^2 - 1, delelig med 3.

Tankegangen ser helt riktig ut!

Men du slurver litt. [tex]n^2 - 1 = (n-1)(n+1)[/tex]. Ikke noen n i det produktet. Men det vil ikke ha noe å si på beviset ditt, for det er faktorene n-1 og n+1 du argumenterer for at må være delelige med 3.

Har du kommet noen vei på b)?

Uff ja, det blir fort mange slurefeil, bare håpe det blir minimalt av de på eksamen!

Når det kommer til oppgave b så har jeg satt opp påstanden " [symbol:rot] 2 = t/n"

t har ikke n som faktor, dette gjør at 2 = t^2/n^2

Venstre side er et helt tall, noe som gjør at også høyre side skal være det, men det motsier seg ved at t ikke har n som faktor.

Derfor er påstanden [symbol:rot] 2 [symbol:ikke_lik] rasjonalt tall, men et irrasjonalt tall.