matematikk.net

Har en oppgave jeg syntes var litt merkelig:

Oppgaven er:

Elevene i en matematikkgruppe skal regne ut volumet av en 3 m høy tank. Tanken har en spesiell form. Elevene tenker seg at de lager et vilkårlig snitt gjennom tanken i avstanden x m fra bunnen. De gjør en del målinger og beregninger og finner at arealet av snittet er A(x)=4x - x[sup]2[/sup] når 0 < x < 3.

a) Forklar hvorfor volumet av tanken er [tex]V=\int\limits_{0}^{3} A(x) \ dx[/tex] Regn ut volumet av tanken.

Regne ut volumet er enkelt, men jeg lurte litt på tankegangen jeg skulle bruke til den forklaringen.
Når volumet av tanken er gitt ved arealet av snittet, må ikke det bety at tanken måler 1 m i den andre retningen, slik at arealet ganges med 1 og gir et volum?

b) Lag en skisse av tanken slik du mener den kan se ut. Hvis det stemmer som jeg foreslo i a, blir dette bare å tegne den formen arealet under grafen har , og passe på at tanken blir 1 m i den andre retningen. Hvis ikke?

Volumet av en tynn skive med tykkelse [tex]\,\,\Delta x\,\,[/tex]er [tex]\,\,\Delta V=A*\Delta x[/tex].
Volumet kan tilnærmes som summen av volumene til mange tynne skiver med tykkelsese [tex]\,\,\Delta x\,\,[/tex], fra x=a til x=b.
dvs
[tex]V\approx \sum_{x=a}^{x=b}\Delta V(x)= \sum_{x=a}^{x=b} A(x)\Delta x[/tex]

og på integralform får vi:

[tex]V=\int_{a}^{b}A(x)\,dx[/tex]

Takk for godt og informativt svar, mye bedre enn det jeg kunne kommet på av meg selv ...

Er ikke dette gjennomgått i boka di?

Nei, det eneste som går på volum der, er omdreiningslegemer, som jo har en litt annen tankegang, ellers er integralene av en funksjoni et gitt intervall alltid for å finne arealet av området under grafen.
Plutselig setter de da opp en oppgave med dette uten å ha vist noe sted hva det hører inn under en gang .. (dessverre typisk enkelte mattebøker... )